Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77631 / 56900
↖ ↑ ↗
← N 23.069624°
E 33.219910°		 ← 281 m → N 23.069624°
E 33.222656°		 →
↑
280.96 m
↓
↑
280.96 m
↓
N 23.067097°
E 33.219910°		 ← 281.01 m →
78 951 m²		 N 23.067097°
E 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592281341552734 y=0.434116363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592281341552734 × 217)
    floor (0.592281341552734 × 131072)
    floor (77631.5)     		tx = 77631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434116363525391 × 217)
    floor (0.434116363525391 × 131072)
    floor (56900.5)     		ty = 56900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77631 / 56900 ti = "17/77631/56900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77631/56900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77631 ÷ 217
    77631 ÷ 131072     		x = 0.592277526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56900 ÷ 217
    56900 ÷ 131072     		y = 0.434112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592277526855469 × 2 - 1) × π
    0.184555053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57979680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434112548828125 × 2 - 1) × π
    0.13177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.413983065118805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57979680} λ = 0.57979680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413983065118805))-π/2
    2×atan(1.51283150704562)-π/2
    2×0.986718614861217-π/2
    1.97343722972243-1.57079632675     		φ = 0.40264090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57979680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.219910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40264090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.069624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77631 KachelY 56900 0.57979680 0.40264090 33.219910 23.069624
    Oben rechts KachelX + 1 77632 KachelY 56900 0.57984474 0.40264090 33.222656 23.069624
    Unten links KachelX 77631 KachelY + 1 56901 0.57979680 0.40259680 33.219910 23.067097
    Unten rechts KachelX + 1 77632 KachelY + 1 56901 0.57984474 0.40259680 33.222656 23.067097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40264090-0.40259680) × R
    4.41000000000469e-05 × 6371000     		dl = 280.961100000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40264090-0.40259680) × R
    4.41000000000469e-05 × 6371000     		dr = 280.961100000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57979680-0.57984474) × cos(0.40264090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920029368397804 × 6371000     		do = 281.000650664448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57979680-0.57984474) × cos(0.40259680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920046648062204 × 6371000     		du = 281.005928318734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40264090)-sin(0.40259680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920029368397804-0.920046648062204)×R²
    abs(0.57984474-0.57979680)×1.72796644000162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72796644000162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72796644000162e-05×40589641000000     		ar = 78950.9933320376m²