Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77630 / 83651
↖ ↑ ↗
← S 44.471031°
E 33.217163°		 ← 217.95 m → S 44.471031°
E 33.219910°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.472991°
E 33.217163°		 ← 217.95 m →
47 489 m²		 S 44.472991°
E 33.219910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592273712158203 y=0.638210296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592273712158203 × 217)
    floor (0.592273712158203 × 131072)
    floor (77630.5)     		tx = 77630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638210296630859 × 217)
    floor (0.638210296630859 × 131072)
    floor (83651.5)     		ty = 83651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77630 / 83651 ti = "17/77630/83651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77630/83651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77630 ÷ 217
    77630 ÷ 131072     		x = 0.592269897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83651 ÷ 217
    83651 ÷ 131072     		y = 0.638206481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592269897460938 × 2 - 1) × π
    0.184539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57974886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638206481933594 × 2 - 1) × π
    -0.276412963867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.868376936617317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57974886} λ = 0.57974886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868376936617317))-π/2
    2×atan(0.419632086294325)-π/2
    2×0.397315205032313-π/2
    0.794630410064625-1.57079632675     		φ = -0.77616592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57974886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.217163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77616592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.471031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77630 KachelY 83651 0.57974886 -0.77616592 33.217163 -44.471031
    Oben rechts KachelX + 1 77631 KachelY 83651 0.57979680 -0.77616592 33.219910 -44.471031
    Unten links KachelX 77630 KachelY + 1 83652 0.57974886 -0.77620012 33.217163 -44.472991
    Unten rechts KachelX + 1 77631 KachelY + 1 83652 0.57979680 -0.77620012 33.219910 -44.472991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77616592--0.77620012) × R
    3.42000000000953e-05 × 6371000     		dl = 217.888200000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77616592--0.77620012) × R
    3.42000000000953e-05 × 6371000     		dr = 217.888200000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57974886-0.57979680) × cos(-0.77616592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713604735693187 × 6371000     		do = 217.953254466453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57974886-0.57979680) × cos(-0.77620012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7135807765152 × 6371000     		du = 217.945936716787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77616592)-sin(-0.77620012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713604735693187-0.7135807765152)×R²
    abs(0.57979680-0.57974886)×2.39591779869208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39591779869208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39591779869208e-05×40589641000000     		ar = 47488.6450791153m²