Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77630 / 83594
↖ ↑ ↗
← S 44.359206°
E 33.217163°		 ← 218.37 m → S 44.359206°
E 33.219910°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.361170°
E 33.217163°		 ← 218.36 m →
47 691 m²		 S 44.361170°
E 33.219910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592273712158203 y=0.637775421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592273712158203 × 217)
    floor (0.592273712158203 × 131072)
    floor (77630.5)     		tx = 77630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637775421142578 × 217)
    floor (0.637775421142578 × 131072)
    floor (83594.5)     		ty = 83594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77630 / 83594 ti = "17/77630/83594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77630/83594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77630 ÷ 217
    77630 ÷ 131072     		x = 0.592269897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83594 ÷ 217
    83594 ÷ 131072     		y = 0.637771606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592269897460938 × 2 - 1) × π
    0.184539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57974886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637771606445312 × 2 - 1) × π
    -0.275543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865644533338974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57974886} λ = 0.57974886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865644533338974))-π/2
    2×atan(0.420780258302736)-π/2
    2×0.398291066065847-π/2
    0.796582132131694-1.57079632675     		φ = -0.77421419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57974886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.217163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77421419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.359206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77630 KachelY 83594 0.57974886 -0.77421419 33.217163 -44.359206
    Oben rechts KachelX + 1 77631 KachelY 83594 0.57979680 -0.77421419 33.219910 -44.359206
    Unten links KachelX 77630 KachelY + 1 83595 0.57974886 -0.77424847 33.217163 -44.361170
    Unten rechts KachelX + 1 77631 KachelY + 1 83595 0.57979680 -0.77424847 33.219910 -44.361170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77421419--0.77424847) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77421419--0.77424847) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57974886-0.57979680) × cos(-0.77421419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714970657311973 × 6371000     		do = 218.370442087653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57974886-0.57979680) × cos(-0.77424847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714946689876996 × 6371000     		du = 218.363121816089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77421419)-sin(-0.77424847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714970657311973-0.714946689876996)×R²
    abs(0.57979680-0.57974886)×2.39674349775676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39674349775676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39674349775676e-05×40589641000000     		ar = 47690.842245256m²