Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7763 / 9295
↖ ↑ ↗
← S 23.543845°
W  9.426270°		 ← 2 239.89 m → S 23.543845°
W  9.404297°		 →
↑
2 239.66 m
↓
↑
2 239.66 m
↓
S 23.563987°
W  9.426270°		 ← 2 239.54 m →
5 016 204 m²		 S 23.563987°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473846435546875 y=0.567352294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473846435546875 × 214)
    floor (0.473846435546875 × 16384)
    floor (7763.5)     		tx = 7763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567352294921875 × 214)
    floor (0.567352294921875 × 16384)
    floor (9295.5)     		ty = 9295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7763 / 9295 ti = "14/7763/9295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7763/9295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7763 ÷ 214
    7763 ÷ 16384     		x = 0.47381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9295 ÷ 214
    9295 ÷ 16384     		y = 0.56732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16451944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.422995202247375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16451944} λ = -0.16451944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.422995202247375))-π/2
    2×atan(0.655081776024577)-π/2
    2×0.57993935529715-π/2
    1.1598787105943-1.57079632675     		φ = -0.41091762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16451944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41091762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.543845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7763 KachelY 9295 -0.16451944 -0.41091762 -9.426270 -23.543845
    Oben rechts KachelX + 1 7764 KachelY 9295 -0.16413594 -0.41091762 -9.404297 -23.543845
    Unten links KachelX 7763 KachelY + 1 9296 -0.16451944 -0.41126916 -9.426270 -23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 7764 KachelY + 1 9296 -0.16413594 -0.41126916 -9.404297 -23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41091762--0.41126916) × R
    0.000351540000000039 × 6371000     		dl = 2239.66134000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41091762--0.41126916) × R
    0.000351540000000039 × 6371000     		dr = 2239.66134000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16451944--0.16413594) × cos(-0.41091762) × R
    0.000383499999999981 × 0.916754664856417 × 6371000     		do = 2239.88696241828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16451944--0.16413594) × cos(-0.41126916) × R
    0.000383499999999981 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 2239.54373174765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41091762)-sin(-0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916754664856417-0.916614185303787)×R²
    abs(-0.16413594--0.16451944)×0.000140479552629635×R²
    0.000383499999999981×0.000140479552629635×6371000²
    0.000383499999999981×0.000140479552629635×40589641000000     		ar = 5016203.92712555m²