Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7763 / 3185
↖ ↑ ↗
← N 73.321553°
W  9.426270°		 ← 701.22 m → N 73.321553°
W  9.404297°		 →
↑
701.32 m
↓
↑
701.32 m
↓
N 73.315246°
W  9.426270°		 ← 701.48 m →
491 871 m²		 N 73.315246°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473846435546875 y=0.194427490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473846435546875 × 214)
    floor (0.473846435546875 × 16384)
    floor (7763.5)     		tx = 7763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194427490234375 × 214)
    floor (0.194427490234375 × 16384)
    floor (3185.5)     		ty = 3185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7763 / 3185 ti = "14/7763/3185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7763/3185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7763 ÷ 214
    7763 ÷ 16384     		x = 0.47381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3185 ÷ 214
    3185 ÷ 16384     		y = 0.19439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16451944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19439697265625 × 2 - 1) × π
    0.6112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92016045118097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16451944} λ = -0.16451944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92016045118097))-π/2
    2×atan(6.82205298793855)-π/2
    2×1.42524942052512-π/2
    2.85049884105025-1.57079632675     		φ = 1.27970251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16451944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27970251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.321553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7763 KachelY 3185 -0.16451944 1.27970251 -9.426270 73.321553
    Oben rechts KachelX + 1 7764 KachelY 3185 -0.16413594 1.27970251 -9.404297 73.321553
    Unten links KachelX 7763 KachelY + 1 3186 -0.16451944 1.27959243 -9.426270 73.315246
    Unten rechts KachelX + 1 7764 KachelY + 1 3186 -0.16413594 1.27959243 -9.404297 73.315246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27970251-1.27959243) × R
    0.000110080000000012 × 6371000     		dl = 701.319680000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27970251-1.27959243) × R
    0.000110080000000012 × 6371000     		dr = 701.319680000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16451944--0.16413594) × cos(1.27970251) × R
    0.000383499999999981 × 0.287000197078838 × 6371000     		do = 701.221411018454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16451944--0.16413594) × cos(1.27959243) × R
    0.000383499999999981 × 0.287105644331718 × 6371000     		du = 701.4790480243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27970251)-sin(1.27959243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287000197078838-0.287105644331718)×R²
    abs(-0.16413594--0.16451944)×0.000105447252880086×R²
    0.000383499999999981×0.000105447252880086×6371000²
    0.000383499999999981×0.000105447252880086×40589641000000     		ar = 491870.719032652m²