Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77629 / 83645
↖ ↑ ↗
← S 44.459270°
E 33.214417°		 ← 217.95 m → S 44.459270°
E 33.217163°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
S 44.461230°
E 33.214417°		 ← 217.94 m →
47 502 m²		 S 44.461230°
E 33.217163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592266082763672 y=0.638164520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592266082763672 × 217)
    floor (0.592266082763672 × 131072)
    floor (77629.5)     		tx = 77629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638164520263672 × 217)
    floor (0.638164520263672 × 131072)
    floor (83645.5)     		ty = 83645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77629 / 83645 ti = "17/77629/83645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77629/83645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77629 ÷ 217
    77629 ÷ 131072     		x = 0.592262268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83645 ÷ 217
    83645 ÷ 131072     		y = 0.638160705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592262268066406 × 2 - 1) × π
    0.184524536132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57970093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638160705566406 × 2 - 1) × π
    -0.276321411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.868089315219597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57970093} λ = 0.57970093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868089315219597))-π/2
    2×atan(0.419752798820434)-π/2
    2×0.397417839367362-π/2
    0.794835678734723-1.57079632675     		φ = -0.77596065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57970093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.214417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77596065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.459270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77629 KachelY 83645 0.57970093 -0.77596065 33.214417 -44.459270
    Oben rechts KachelX + 1 77630 KachelY 83645 0.57974886 -0.77596065 33.217163 -44.459270
    Unten links KachelX 77629 KachelY + 1 83646 0.57970093 -0.77599486 33.214417 -44.461230
    Unten rechts KachelX + 1 77630 KachelY + 1 83646 0.57974886 -0.77599486 33.217163 -44.461230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77596065--0.77599486) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dl = 217.951909999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77596065--0.77599486) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dr = 217.951909999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57970093-0.57974886) × cos(-0.77596065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7137485222604 × 6371000     		do = 217.951697667069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57970093-0.57974886) × cos(-0.77599486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.713724561088241 × 6371000     		du = 217.944380834898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77596065)-sin(-0.77599486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7137485222604-0.713724561088241)×R²
    abs(0.57974886-0.57970093)×2.39611721586375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39611721586375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39611721586375e-05×40589641000000     		ar = 47502.1914399941m²