Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77628 / 83650
↖ ↑ ↗
← S 44.469071°
E 33.211670°		 ← 217.96 m → S 44.469071°
E 33.214417°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
S 44.471031°
E 33.211670°		 ← 217.95 m →
47 504 m²		 S 44.471031°
E 33.214417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592258453369141 y=0.638202667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592258453369141 × 217)
    floor (0.592258453369141 × 131072)
    floor (77628.5)     		tx = 77628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638202667236328 × 217)
    floor (0.638202667236328 × 131072)
    floor (83650.5)     		ty = 83650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77628 / 83650 ti = "17/77628/83650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77628/83650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77628 ÷ 217
    77628 ÷ 131072     		x = 0.592254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83650 ÷ 217
    83650 ÷ 131072     		y = 0.638198852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592254638671875 × 2 - 1) × π
    0.18450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57965299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638198852539062 × 2 - 1) × π
    -0.276397705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.868328999717697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57965299} λ = 0.57965299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868328999717697))-π/2
    2×atan(0.419652202637676)-π/2
    2×0.397332309318853-π/2
    0.794664618637707-1.57079632675     		φ = -0.77613171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57965299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.211670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77613171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.469071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77628 KachelY 83650 0.57965299 -0.77613171 33.211670 -44.469071
    Oben rechts KachelX + 1 77629 KachelY 83650 0.57970093 -0.77613171 33.214417 -44.469071
    Unten links KachelX 77628 KachelY + 1 83651 0.57965299 -0.77616592 33.211670 -44.471031
    Unten rechts KachelX + 1 77629 KachelY + 1 83651 0.57970093 -0.77616592 33.214417 -44.471031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77613171--0.77616592) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dl = 217.951909999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77613171--0.77616592) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dr = 217.951909999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57965299-0.57970093) × cos(-0.77613171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713628701041755 × 6371000     		do = 217.960574100774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57965299-0.57970093) × cos(-0.77616592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713604735693187 × 6371000     		du = 217.953254466453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77613171)-sin(-0.77616592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713628701041755-0.713604735693187)×R²
    abs(0.57970093-0.57965299)×2.39653485675229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39653485675229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39653485675229e-05×40589641000000     		ar = 47504.1257702669m²