Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77627 / 83644
↖ ↑ ↗
← S 44.457310°
E 33.208923°		 ← 218 m → S 44.457310°
E 33.211670°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
S 44.459270°
E 33.208923°		 ← 218 m →
47 528 m²		 S 44.459270°
E 33.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592250823974609 y=0.638156890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592250823974609 × 217)
    floor (0.592250823974609 × 131072)
    floor (77627.5)     		tx = 77627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638156890869141 × 217)
    floor (0.638156890869141 × 131072)
    floor (83644.5)     		ty = 83644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77627 / 83644 ti = "17/77627/83644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77627/83644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77627 ÷ 217
    77627 ÷ 131072     		x = 0.592247009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83644 ÷ 217
    83644 ÷ 131072     		y = 0.638153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592247009277344 × 2 - 1) × π
    0.184494018554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57960505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.27630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.868041378319977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57960505} λ = 0.57960505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868041378319977))-π/2
    2×atan(0.419772920950508)-π/2
    2×0.397434947100219-π/2
    0.794869894200438-1.57079632675     		φ = -0.77592643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57960505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.208923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77592643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.457310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77627 KachelY 83644 0.57960505 -0.77592643 33.208923 -44.457310
    Oben rechts KachelX + 1 77628 KachelY 83644 0.57965299 -0.77592643 33.211670 -44.457310
    Unten links KachelX 77627 KachelY + 1 83645 0.57960505 -0.77596065 33.208923 -44.459270
    Unten rechts KachelX + 1 77628 KachelY + 1 83645 0.57965299 -0.77596065 33.211670 -44.459270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77592643--0.77596065) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dl = 218.01562000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77592643--0.77596065) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dr = 218.01562000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57960505-0.57965299) × cos(-0.77592643) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.713772489601018 × 6371000     		do = 218.004490828395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57960505-0.57965299) × cos(-0.77596065) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.7137485222604 × 6371000     		du = 217.997170585651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77592643)-sin(-0.77596065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713772489601018-0.7137485222604)×R²
    abs(0.57965299-0.57960505)×2.39673406180474e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39673406180474e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39673406180474e-05×40589641000000     		ar = 47527.5862718232m²