Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77627 / 57513
↖ ↑ ↗
← N 21.511852°
E 33.208923°		 ← 284.15 m → N 21.511852°
E 33.211670°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
N 21.509296°
E 33.208923°		 ← 284.16 m →
80 741 m²		 N 21.509296°
E 33.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592250823974609 y=0.438793182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592250823974609 × 217)
    floor (0.592250823974609 × 131072)
    floor (77627.5)     		tx = 77627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438793182373047 × 217)
    floor (0.438793182373047 × 131072)
    floor (57513.5)     		ty = 57513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77627 / 57513 ti = "17/77627/57513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77627/57513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77627 ÷ 217
    77627 ÷ 131072     		x = 0.592247009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57513 ÷ 217
    57513 ÷ 131072     		y = 0.438789367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592247009277344 × 2 - 1) × π
    0.184494018554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57960505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438789367675781 × 2 - 1) × π
    0.122421264648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.384597745651711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57960505} λ = 0.57960505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384597745651711))-π/2
    2×atan(1.46902328157218)-π/2
    2×0.973124481677929-π/2
    1.94624896335586-1.57079632675     		φ = 0.37545264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57960505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.208923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37545264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.511852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77627 KachelY 57513 0.57960505 0.37545264 33.208923 21.511852
    Oben rechts KachelX + 1 77628 KachelY 57513 0.57965299 0.37545264 33.211670 21.511852
    Unten links KachelX 77627 KachelY + 1 57514 0.57960505 0.37540804 33.208923 21.509296
    Unten rechts KachelX + 1 77628 KachelY + 1 57514 0.57965299 0.37540804 33.211670 21.509296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37545264-0.37540804) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dl = 284.146600000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37545264-0.37540804) × R
    4.46000000000057e-05 × 6371000     		dr = 284.146600000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57960505-0.57965299) × cos(0.37545264) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930341736997829 × 6371000     		do = 284.150313475919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57960505-0.57965299) × cos(0.37540804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930358090610497 × 6371000     		du = 284.15530829017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37545264)-sin(0.37540804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930341736997829-0.930358090610497)×R²
    abs(0.57965299-0.57960505)×1.63536126680519e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.63536126680519e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.63536126680519e-05×40589641000000     		ar = 80741.0551062914m²