Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77626 / 83654
↖ ↑ ↗
← S 44.476911°
E 33.206177°		 ← 217.89 m → S 44.476911°
E 33.208923°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.478871°
E 33.206177°		 ← 217.88 m →
47 474 m²		 S 44.478871°
E 33.208923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592243194580078 y=0.638233184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592243194580078 × 217)
    floor (0.592243194580078 × 131072)
    floor (77626.5)     		tx = 77626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638233184814453 × 217)
    floor (0.638233184814453 × 131072)
    floor (83654.5)     		ty = 83654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77626 / 83654 ti = "17/77626/83654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77626/83654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77626 ÷ 217
    77626 ÷ 131072     		x = 0.592239379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83654 ÷ 217
    83654 ÷ 131072     		y = 0.638229370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592239379882812 × 2 - 1) × π
    0.184478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57955712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638229370117188 × 2 - 1) × π
    -0.276458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.868520747316177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57955712} λ = 0.57955712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868520747316177))-π/2
    2×atan(0.419571743049837)-π/2
    2×0.397263895619025-π/2
    0.79452779123805-1.57079632675     		φ = -0.77626854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57955712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.206177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77626854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.476911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77626 KachelY 83654 0.57955712 -0.77626854 33.206177 -44.476911
    Oben rechts KachelX + 1 77627 KachelY 83654 0.57960505 -0.77626854 33.208923 -44.476911
    Unten links KachelX 77626 KachelY + 1 83655 0.57955712 -0.77630274 33.206177 -44.478871
    Unten rechts KachelX + 1 77627 KachelY + 1 83655 0.57960505 -0.77630274 33.208923 -44.478871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77626854--0.77630274) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77626854--0.77630274) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57955712-0.57960505) × cos(-0.77626854) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.713532841642922 × 6371000     		do = 217.88583699538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57955712-0.57960505) × cos(-0.77630274) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.713508879960633 × 6371000     		du = 217.878520007434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77626854)-sin(-0.77630274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713532841642922-0.713508879960633)×R²
    abs(0.57960505-0.57955712)×2.39616822885758e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39616822885758e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39616822885758e-05×40589641000000     		ar = 47473.9556904086m²