Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77625 / 83602
↖ ↑ ↗
← S 44.374914°
E 33.203430°		 ← 218.31 m → S 44.374914°
E 33.206177°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 44.376877°
E 33.203430°		 ← 218.30 m →
47 650 m²		 S 44.376877°
E 33.206177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592235565185547 y=0.637836456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592235565185547 × 217)
    floor (0.592235565185547 × 131072)
    floor (77625.5)     		tx = 77625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637836456298828 × 217)
    floor (0.637836456298828 × 131072)
    floor (83602.5)     		ty = 83602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77625 / 83602 ti = "17/77625/83602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77625/83602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77625 ÷ 217
    77625 ÷ 131072     		x = 0.592231750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83602 ÷ 217
    83602 ÷ 131072     		y = 0.637832641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592231750488281 × 2 - 1) × π
    0.184463500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57950918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637832641601562 × 2 - 1) × π
    -0.275665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.866028028535934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57950918} λ = 0.57950918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866028028535934))-π/2
    2×atan(0.420618922032521)-π/2
    2×0.398153990538995-π/2
    0.796307981077991-1.57079632675     		φ = -0.77448835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57950918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.203430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77448835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.374914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77625 KachelY 83602 0.57950918 -0.77448835 33.203430 -44.374914
    Oben rechts KachelX + 1 77626 KachelY 83602 0.57955712 -0.77448835 33.206177 -44.374914
    Unten links KachelX 77625 KachelY + 1 83603 0.57950918 -0.77452261 33.203430 -44.376877
    Unten rechts KachelX + 1 77626 KachelY + 1 83603 0.57955712 -0.77452261 33.206177 -44.376877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77448835--0.77452261) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dl = 218.270459999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77448835--0.77452261) × R
    3.42599999999527e-05 × 6371000     		dr = 218.270459999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57950918-0.57955712) × cos(-0.77448835) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.714778950257651 × 6371000     		do = 218.311889819229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57950918-0.57955712) × cos(-0.77452261) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.714754990091745 × 6371000     		du = 218.304571767826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77448835)-sin(-0.77452261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714778950257651-0.714754990091745)×R²
    abs(0.57955712-0.57950918)×2.39601659058897e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39601659058897e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39601659058897e-05×40589641000000     		ar = 47650.2379616492m²