Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77625 / 58121
↖ ↑ ↗
← N 19.950115°
E 33.203430°		 ← 287.10 m → N 19.950115°
E 33.206177°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.947533°
E 33.203430°		 ← 287.10 m →
82 420 m²		 N 19.947533°
E 33.206177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592235565185547 y=0.443431854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592235565185547 × 217)
    floor (0.592235565185547 × 131072)
    floor (77625.5)     		tx = 77625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443431854248047 × 217)
    floor (0.443431854248047 × 131072)
    floor (58121.5)     		ty = 58121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77625 / 58121 ti = "17/77625/58121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77625/58121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77625 ÷ 217
    77625 ÷ 131072     		x = 0.592231750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58121 ÷ 217
    58121 ÷ 131072     		y = 0.443428039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592231750488281 × 2 - 1) × π
    0.184463500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57950918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443428039550781 × 2 - 1) × π
    0.113143920898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.355452110682716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57950918} λ = 0.57950918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355452110682716))-π/2
    2×atan(1.4268255915713)-π/2
    2×0.959495756866599-π/2
    1.9189915137332-1.57079632675     		φ = 0.34819519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57950918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.203430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34819519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.950115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77625 KachelY 58121 0.57950918 0.34819519 33.203430 19.950115
    Oben rechts KachelX + 1 77626 KachelY 58121 0.57955712 0.34819519 33.206177 19.950115
    Unten links KachelX 77625 KachelY + 1 58122 0.57950918 0.34815013 33.203430 19.947533
    Unten rechts KachelX + 1 77626 KachelY + 1 58122 0.57955712 0.34815013 33.206177 19.947533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34819519-0.34815013) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34819519-0.34815013) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57950918-0.57955712) × cos(0.34819519) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939990047975942 × 6371000     		do = 287.097155996164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57950918-0.57955712) × cos(0.34815013) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.940005421577498 × 6371000     		du = 287.101851489796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34819519)-sin(0.34815013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939990047975942-0.940005421577498)×R²
    abs(0.57955712-0.57950918)×1.53736015557904e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.53736015557904e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.53736015557904e-05×40589641000000     		ar = 82419.7388957147m²