Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77625 / 58094
↖ ↑ ↗
← N 20.019807°
E 33.203430°		 ← 286.97 m → N 20.019807°
E 33.206177°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 20.017226°
E 33.203430°		 ← 286.97 m →
82 347 m²		 N 20.017226°
E 33.206177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592235565185547 y=0.443225860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592235565185547 × 217)
    floor (0.592235565185547 × 131072)
    floor (77625.5)     		tx = 77625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443225860595703 × 217)
    floor (0.443225860595703 × 131072)
    floor (58094.5)     		ty = 58094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77625 / 58094 ti = "17/77625/58094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77625/58094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77625 ÷ 217
    77625 ÷ 131072     		x = 0.592231750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58094 ÷ 217
    58094 ÷ 131072     		y = 0.443222045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592231750488281 × 2 - 1) × π
    0.184463500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57950918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443222045898438 × 2 - 1) × π
    0.113555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.356746406972458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57950918} λ = 0.57950918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356746406972458))-π/2
    2×atan(1.42867352226753)-π/2
    2×0.960103935232378-π/2
    1.92020787046476-1.57079632675     		φ = 0.34941154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57950918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.203430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34941154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.019807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77625 KachelY 58094 0.57950918 0.34941154 33.203430 20.019807
    Oben rechts KachelX + 1 77626 KachelY 58094 0.57955712 0.34941154 33.206177 20.019807
    Unten links KachelX 77625 KachelY + 1 58095 0.57950918 0.34936650 33.203430 20.017226
    Unten rechts KachelX + 1 77626 KachelY + 1 58095 0.57955712 0.34936650 33.206177 20.017226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34941154-0.34936650) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34941154-0.34936650) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57950918-0.57955712) × cos(0.34941154) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939574331834093 × 6371000     		do = 286.97018558591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57950918-0.57955712) × cos(0.34936650) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939589750098293 × 6371000     		du = 286.974894720663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34941154)-sin(0.34936650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939574331834093-0.939589750098293)×R²
    abs(0.57955712-0.57950918)×1.54182642005951e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.54182642005951e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.54182642005951e-05×40589641000000     		ar = 82346.7244953115m²