Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77623 / 83665
↖ ↑ ↗
← S 44.498465°
E 33.197937°		 ← 217.81 m → S 44.498465°
E 33.200683°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
S 44.500424°
E 33.197937°		 ← 217.80 m →
47 443 m²		 S 44.500424°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592220306396484 y=0.638317108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592220306396484 × 217)
    floor (0.592220306396484 × 131072)
    floor (77623.5)     		tx = 77623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638317108154297 × 217)
    floor (0.638317108154297 × 131072)
    floor (83665.5)     		ty = 83665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77623 / 83665 ti = "17/77623/83665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77623/83665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77623 ÷ 217
    77623 ÷ 131072     		x = 0.592216491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83665 ÷ 217
    83665 ÷ 131072     		y = 0.638313293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592216491699219 × 2 - 1) × π
    0.184432983398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57941331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638313293457031 × 2 - 1) × π
    -0.276626586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.869048053211998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57941331} λ = 0.57941331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869048053211998))-π/2
    2×atan(0.419350558717033)-π/2
    2×0.397075805331877-π/2
    0.794151610663754-1.57079632675     		φ = -0.77664472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57941331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.197937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77664472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.498465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77623 KachelY 83665 0.57941331 -0.77664472 33.197937 -44.498465
    Oben rechts KachelX + 1 77624 KachelY 83665 0.57946124 -0.77664472 33.200683 -44.498465
    Unten links KachelX 77623 KachelY + 1 83666 0.57941331 -0.77667891 33.197937 -44.500424
    Unten rechts KachelX + 1 77624 KachelY + 1 83666 0.57946124 -0.77667891 33.200683 -44.500424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77664472--0.77667891) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dl = 217.824490000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77664472--0.77667891) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dr = 217.824490000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57941331-0.57946124) × cos(-0.77664472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.713269231260006 × 6371000     		do = 217.805340394228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57941331-0.57946124) × cos(-0.77667891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.713245267408858 × 6371000     		du = 217.798022743995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77664472)-sin(-0.77667891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713269231260006-0.713245267408858)×R²
    abs(0.57946124-0.57941331)×2.3963851147446e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3963851147446e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3963851147446e-05×40589641000000     		ar = 47442.5402136496m²