Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77622 / 83661
↖ ↑ ↗
← S 44.490628°
E 33.195190°		 ← 217.88 m → S 44.490628°
E 33.197937°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.492587°
E 33.195190°		 ← 217.87 m →
47 473 m²		 S 44.492587°
E 33.197937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592212677001953 y=0.638286590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592212677001953 × 217)
    floor (0.592212677001953 × 131072)
    floor (77622.5)     		tx = 77622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638286590576172 × 217)
    floor (0.638286590576172 × 131072)
    floor (83661.5)     		ty = 83661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77622 / 83661 ti = "17/77622/83661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77622/83661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77622 ÷ 217
    77622 ÷ 131072     		x = 0.592208862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83661 ÷ 217
    83661 ÷ 131072     		y = 0.638282775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592208862304688 × 2 - 1) × π
    0.184417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57936537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638282775878906 × 2 - 1) × π
    -0.276565551757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.868856305613518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57936537} λ = 0.57936537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868856305613518))-π/2
    2×atan(0.419430975889242)-π/2
    2×0.3971441937584-π/2
    0.794288387516799-1.57079632675     		φ = -0.77650794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57936537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.195190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77650794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.490628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77622 KachelY 83661 0.57936537 -0.77650794 33.195190 -44.490628
    Oben rechts KachelX + 1 77623 KachelY 83661 0.57941331 -0.77650794 33.197937 -44.490628
    Unten links KachelX 77622 KachelY + 1 83662 0.57936537 -0.77654214 33.195190 -44.492587
    Unten rechts KachelX + 1 77623 KachelY + 1 83662 0.57941331 -0.77654214 33.197937 -44.492587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77650794--0.77654214) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77650794--0.77654214) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57936537-0.57941331) × cos(-0.77650794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713365092342363 × 6371000     		do = 217.880061218692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57936537-0.57941331) × cos(-0.77654214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713341124818823 × 6371000     		du = 217.872740920079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77650794)-sin(-0.77654214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713365092342363-0.713341124818823)×R²
    abs(0.57941331-0.57936537)×2.39675235396142e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39675235396142e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39675235396142e-05×40589641000000     		ar = 47472.6968560835m²