Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77622 / 83646
↖ ↑ ↗
← S 44.461230°
E 33.195190°		 ← 217.99 m → S 44.461230°
E 33.197937°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
S 44.463191°
E 33.195190°		 ← 217.98 m →
47 524 m²		 S 44.463191°
E 33.197937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592212677001953 y=0.638172149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592212677001953 × 217)
    floor (0.592212677001953 × 131072)
    floor (77622.5)     		tx = 77622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638172149658203 × 217)
    floor (0.638172149658203 × 131072)
    floor (83646.5)     		ty = 83646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77622 / 83646 ti = "17/77622/83646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77622/83646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77622 ÷ 217
    77622 ÷ 131072     		x = 0.592208862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83646 ÷ 217
    83646 ÷ 131072     		y = 0.638168334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592208862304688 × 2 - 1) × π
    0.184417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57936537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638168334960938 × 2 - 1) × π
    -0.276336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.868137252119217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57936537} λ = 0.57936537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868137252119217))-π/2
    2×atan(0.419732677654928)-π/2
    2×0.397400732208888-π/2
    0.794801464417777-1.57079632675     		φ = -0.77599486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57936537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.195190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77599486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.461230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77622 KachelY 83646 0.57936537 -0.77599486 33.195190 -44.461230
    Oben rechts KachelX + 1 77623 KachelY 83646 0.57941331 -0.77599486 33.197937 -44.461230
    Unten links KachelX 77622 KachelY + 1 83647 0.57936537 -0.77602908 33.195190 -44.463191
    Unten rechts KachelX + 1 77623 KachelY + 1 83647 0.57941331 -0.77602908 33.197937 -44.463191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77599486--0.77602908) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dl = 218.01562000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77599486--0.77602908) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dr = 218.01562000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57936537-0.57941331) × cos(-0.77599486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713724561088241 × 6371000     		do = 217.989852226408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57936537-0.57941331) × cos(-0.77602908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713700592076284 × 6371000     		du = 217.982531473194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77599486)-sin(-0.77602908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713724561088241-0.713700592076284)×R²
    abs(0.57941331-0.57936537)×2.39690119567815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39690119567815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39690119567815e-05×40589641000000     		ar = 47524.3947724059m²