Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77620 / 58107
↖ ↑ ↗
← N 19.986255°
E 33.189698°		 ← 286.97 m → N 19.986255°
E 33.192444°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.983674°
E 33.189698°		 ← 286.98 m →
82 365 m²		 N 19.983674°
E 33.192444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592197418212891 y=0.443325042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592197418212891 × 217)
    floor (0.592197418212891 × 131072)
    floor (77620.5)     		tx = 77620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443325042724609 × 217)
    floor (0.443325042724609 × 131072)
    floor (58107.5)     		ty = 58107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77620 / 58107 ti = "17/77620/58107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77620/58107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77620 ÷ 217
    77620 ÷ 131072     		x = 0.592193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58107 ÷ 217
    58107 ÷ 131072     		y = 0.443321228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592193603515625 × 2 - 1) × π
    0.18438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57926950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443321228027344 × 2 - 1) × π
    0.113357543945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.356123227277397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57926950} λ = 0.57926950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356123227277397))-π/2
    2×atan(1.42778347929474)-π/2
    2×0.959811142195222-π/2
    1.91962228439044-1.57079632675     		φ = 0.34882596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57926950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.189698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34882596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.986255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77620 KachelY 58107 0.57926950 0.34882596 33.189698 19.986255
    Oben rechts KachelX + 1 77621 KachelY 58107 0.57931743 0.34882596 33.192444 19.986255
    Unten links KachelX 77620 KachelY + 1 58108 0.57926950 0.34878091 33.189698 19.983674
    Unten rechts KachelX + 1 77621 KachelY + 1 58108 0.57931743 0.34878091 33.192444 19.983674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34882596-0.34878091) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34882596-0.34878091) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57926950-0.57931743) × cos(0.34882596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939774641095289 × 6371000     		do = 286.971492147554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57926950-0.57931743) × cos(0.34878091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939790037993343 × 6371000     		du = 286.9761937756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34882596)-sin(0.34878091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939774641095289-0.939790037993343)×R²
    abs(0.57931743-0.57926950)×1.53968980539654e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53968980539654e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53968980539654e-05×40589641000000     		ar = 82365.3814394282m²