Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77620 / 58068
↖ ↑ ↗
← N 20.086888°
E 33.189698°		 ← 286.79 m → N 20.086888°
E 33.192444°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.084309°
E 33.189698°		 ← 286.79 m →
82 258 m²		 N 20.084309°
E 33.192444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592197418212891 y=0.443027496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592197418212891 × 217)
    floor (0.592197418212891 × 131072)
    floor (77620.5)     		tx = 77620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443027496337891 × 217)
    floor (0.443027496337891 × 131072)
    floor (58068.5)     		ty = 58068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77620 / 58068 ti = "17/77620/58068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77620/58068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77620 ÷ 217
    77620 ÷ 131072     		x = 0.592193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58068 ÷ 217
    58068 ÷ 131072     		y = 0.443023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592193603515625 × 2 - 1) × π
    0.18438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57926950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    0.11395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.357992766362579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57926950} λ = 0.57926950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357992766362579))-π/2
    2×atan(1.43045527304768)-π/2
    2×0.960689333844165-π/2
    1.92137866768833-1.57079632675     		φ = 0.35058234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57926950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.189698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35058234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.086888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77620 KachelY 58068 0.57926950 0.35058234 33.189698 20.086888
    Oben rechts KachelX + 1 77621 KachelY 58068 0.57931743 0.35058234 33.192444 20.086888
    Unten links KachelX 77620 KachelY + 1 58069 0.57926950 0.35053732 33.189698 20.084309
    Unten rechts KachelX + 1 77621 KachelY + 1 58069 0.57931743 0.35053732 33.192444 20.084309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35058234-0.35053732) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35058234-0.35053732) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57926950-0.57931743) × cos(0.35058234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939172870469497 × 6371000     		do = 286.787734247668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57926950-0.57931743) × cos(0.35053732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939188331401891 × 6371000     		du = 286.79245542937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35058234)-sin(0.35053732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939172870469497-0.939188331401891)×R²
    abs(0.57931743-0.57926950)×1.5460932393907e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5460932393907e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5460932393907e-05×40589641000000     		ar = 82257.8290474672m²