Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7762 / 9556
↖ ↑ ↗
← S 28.690588°
W  9.448242°		 ← 2 143.25 m → S 28.690588°
W  9.426270°		 →
↑
2 143.08 m
↓
↑
2 143.08 m
↓
S 28.709861°
W  9.448242°		 ← 2 142.85 m →
4 592 725 m²		 S 28.709861°
W  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473785400390625 y=0.583282470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473785400390625 × 214)
    floor (0.473785400390625 × 16384)
    floor (7762.5)     		tx = 7762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583282470703125 × 214)
    floor (0.583282470703125 × 16384)
    floor (9556.5)     		ty = 9556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7762 / 9556 ti = "14/7762/9556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7762/9556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7762 ÷ 214
    7762 ÷ 16384     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9556 ÷ 214
    9556 ÷ 16384     		y = 0.583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523087448654053))-π/2
    2×atan(0.592687826976383)-π/2
    2×0.53502555395465-π/2
    1.0700511079093-1.57079632675     		φ = -0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7762 KachelY 9556 -0.16490293 -0.50074522 -9.448242 -28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 7763 KachelY 9556 -0.16451944 -0.50074522 -9.426270 -28.690588
    Unten links KachelX 7762 KachelY + 1 9557 -0.16490293 -0.50108160 -9.448242 -28.709861
    Unten rechts KachelX + 1 7763 KachelY + 1 9557 -0.16451944 -0.50108160 -9.426270 -28.709861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50074522--0.50108160) × R
    0.000336380000000025 × 6371000     		dl = 2143.07698000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50074522--0.50108160) × R
    0.000336380000000025 × 6371000     		dr = 2143.07698000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16451944) × cos(-0.50074522) × R
    0.000383490000000014 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 2143.24919369339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16451944) × cos(-0.50108160) × R
    0.000383490000000014 × 0.877063502005237 × 6371000     		du = 2142.85451986847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50074522)-sin(-0.50108160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.877063502005237)×R²
    abs(-0.16451944--0.16490293)×0.000161538734350097×R²
    0.000383490000000014×0.000161538734350097×6371000²
    0.000383490000000014×0.000161538734350097×40589641000000     		ar = 4592725.14452019m²