Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7762 / 9303
↖ ↑ ↗
← S 23.704895°
W  9.448242°		 ← 2 237.08 m → S 23.704895°
W  9.426270°		 →
↑
2 236.92 m
↓
↑
2 236.92 m
↓
S 23.725012°
W  9.448242°		 ← 2 236.73 m →
5 003 779 m²		 S 23.725012°
W  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473785400390625 y=0.567840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473785400390625 × 214)
    floor (0.473785400390625 × 16384)
    floor (7762.5)     		tx = 7762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567840576171875 × 214)
    floor (0.567840576171875 × 16384)
    floor (9303.5)     		ty = 9303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7762 / 9303 ti = "14/7762/9303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7762/9303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7762 ÷ 214
    7762 ÷ 16384     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9303 ÷ 214
    9303 ÷ 16384     		y = 0.56781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1356201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.426063163823059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.426063163823059))-π/2
    2×atan(0.653075090098436)-π/2
    2×0.578533934451287-π/2
    1.15706786890257-1.57079632675     		φ = -0.41372846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41372846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.704895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7762 KachelY 9303 -0.16490293 -0.41372846 -9.448242 -23.704895
    Oben rechts KachelX + 1 7763 KachelY 9303 -0.16451944 -0.41372846 -9.426270 -23.704895
    Unten links KachelX 7762 KachelY + 1 9304 -0.16490293 -0.41407957 -9.448242 -23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 7763 KachelY + 1 9304 -0.16451944 -0.41407957 -9.426270 -23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41372846--0.41407957) × R
    0.000351109999999988 × 6371000     		dl = 2236.92180999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41372846--0.41407957) × R
    0.000351109999999988 × 6371000     		dr = 2236.92180999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16451944) × cos(-0.41372846) × R
    0.000383490000000014 × 0.915628252694238 × 6371000     		do = 2237.0764891245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16451944) × cos(-0.41407957) × R
    0.000383490000000014 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 2236.73147840608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41372846)-sin(-0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915628252694238-0.915487040910553)×R²
    abs(-0.16451944--0.16490293)×0.000141211783685868×R²
    0.000383490000000014×0.000141211783685868×6371000²
    0.000383490000000014×0.000141211783685868×40589641000000     		ar = 5003779.35956454m²