Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77618 / 84294
↖ ↑ ↗
← S 45.717686°
E 33.184204°		 ← 213.25 m → S 45.717686°
E 33.186951°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
S 45.719604°
E 33.184204°		 ← 213.24 m →
45 471 m²		 S 45.719604°
E 33.186951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592182159423828 y=0.643115997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592182159423828 × 217)
    floor (0.592182159423828 × 131072)
    floor (77618.5)     		tx = 77618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643115997314453 × 217)
    floor (0.643115997314453 × 131072)
    floor (84294.5)     		ty = 84294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77618 / 84294 ti = "17/77618/84294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77618/84294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77618 ÷ 217
    77618 ÷ 131072     		x = 0.592178344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84294 ÷ 217
    84294 ÷ 131072     		y = 0.643112182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592178344726562 × 2 - 1) × π
    0.184356689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57917362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643112182617188 × 2 - 1) × π
    -0.286224365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.899200363073013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57917362} λ = 0.57917362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899200363073013))-π/2
    2×atan(0.4068948978728)-π/2
    2×0.386436086736633-π/2
    0.772872173473266-1.57079632675     		φ = -0.79792415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57917362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.184204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79792415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.717686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77618 KachelY 84294 0.57917362 -0.79792415 33.184204 -45.717686
    Oben rechts KachelX + 1 77619 KachelY 84294 0.57922156 -0.79792415 33.186951 -45.717686
    Unten links KachelX 77618 KachelY + 1 84295 0.57917362 -0.79795762 33.184204 -45.719604
    Unten rechts KachelX + 1 77619 KachelY + 1 84295 0.57922156 -0.79795762 33.186951 -45.719604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79792415--0.79795762) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dl = 213.237369999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79792415--0.79795762) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dr = 213.237369999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57917362-0.57922156) × cos(-0.79792415) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.698194330811541 × 6371000     		do = 213.246520152274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57917362-0.57922156) × cos(-0.79795762) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.698170368970082 × 6371000     		du = 213.239201589114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79792415)-sin(-0.79795762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698194330811541-0.698170368970082)×R²
    abs(0.57922156-0.57917362)×2.39618414583642e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39618414583642e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39618414583642e-05×40589641000000     		ar = 45471.3468275163m²