Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77618 / 60461
↖ ↑ ↗
← N 13.803408°
E 33.184204°		 ← 296.61 m → N 13.803408°
E 33.186951°		 →
↑
296.57 m
↓
↑
296.57 m
↓
N 13.800741°
E 33.184204°		 ← 296.61 m →
87 965 m²		 N 13.800741°
E 33.186951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592182159423828 y=0.461284637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592182159423828 × 217)
    floor (0.592182159423828 × 131072)
    floor (77618.5)     		tx = 77618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461284637451172 × 217)
    floor (0.461284637451172 × 131072)
    floor (60461.5)     		ty = 60461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77618 / 60461 ti = "17/77618/60461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77618/60461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77618 ÷ 217
    77618 ÷ 131072     		x = 0.592178344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60461 ÷ 217
    60461 ÷ 131072     		y = 0.461280822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592178344726562 × 2 - 1) × π
    0.184356689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57917362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461280822753906 × 2 - 1) × π
    0.0774383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.243279765571785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57917362} λ = 0.57917362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243279765571785))-π/2
    2×atan(1.27542539432483)-π/2
    2×0.905855623268575-π/2
    1.81171124653715-1.57079632675     		φ = 0.24091492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57917362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.184204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24091492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.803408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77618 KachelY 60461 0.57917362 0.24091492 33.184204 13.803408
    Oben rechts KachelX + 1 77619 KachelY 60461 0.57922156 0.24091492 33.186951 13.803408
    Unten links KachelX 77618 KachelY + 1 60462 0.57917362 0.24086837 33.184204 13.800741
    Unten rechts KachelX + 1 77619 KachelY + 1 60462 0.57922156 0.24086837 33.186951 13.800741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24091492-0.24086837) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dl = 296.57005000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24091492-0.24086837) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dr = 296.57005000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57917362-0.57922156) × cos(0.24091492) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971120089452309 × 6371000     		do = 296.60507195033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57917362-0.57922156) × cos(0.24086837) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971131194821591 × 6371000     		du = 296.608463815961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24091492)-sin(0.24086837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971120089452309-0.971131194821591)×R²
    abs(0.57922156-0.57917362)×1.11053692819496e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.11053692819496e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.11053692819496e-05×40589641000000     		ar = 87964.683997345m²