Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77618 / 60139
↖ ↑ ↗
← N 14.660654°
E 33.184204°		 ← 295.48 m → N 14.660654°
E 33.186951°		 →
↑
295.42 m
↓
↑
295.42 m
↓
N 14.657998°
E 33.184204°		 ← 295.49 m →
87 293 m²		 N 14.657998°
E 33.186951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592182159423828 y=0.458827972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592182159423828 × 217)
    floor (0.592182159423828 × 131072)
    floor (77618.5)     		tx = 77618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458827972412109 × 217)
    floor (0.458827972412109 × 131072)
    floor (60139.5)     		ty = 60139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77618 / 60139 ti = "17/77618/60139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77618/60139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77618 ÷ 217
    77618 ÷ 131072     		x = 0.592178344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60139 ÷ 217
    60139 ÷ 131072     		y = 0.458824157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592178344726562 × 2 - 1) × π
    0.184356689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57917362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458824157714844 × 2 - 1) × π
    0.0823516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.258715447249443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57917362} λ = 0.57917362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258715447249443))-π/2
    2×atan(1.2952651811141)-π/2
    2×0.913336509834281-π/2
    1.82667301966856-1.57079632675     		φ = 0.25587669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57917362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.184204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25587669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.660654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77618 KachelY 60139 0.57917362 0.25587669 33.184204 14.660654
    Oben rechts KachelX + 1 77619 KachelY 60139 0.57922156 0.25587669 33.186951 14.660654
    Unten links KachelX 77618 KachelY + 1 60140 0.57917362 0.25583032 33.184204 14.657998
    Unten rechts KachelX + 1 77619 KachelY + 1 60140 0.57922156 0.25583032 33.186951 14.657998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25587669-0.25583032) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dl = 295.423270000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25587669-0.25583032) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dr = 295.423270000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57917362-0.57922156) × cos(0.25587669) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967441782823712 × 6371000     		do = 295.481622426342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57917362-0.57922156) × cos(0.25583032) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967453517736281 × 6371000     		du = 295.485206570697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25587669)-sin(0.25583032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967441782823712-0.967453517736281)×R²
    abs(0.57922156-0.57917362)×1.17349125685617e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.17349125685617e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.17349125685617e-05×40589641000000     		ar = 87292.6765575942m²