Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77617 / 83633
↖ ↑ ↗
← S 44.435741°
E 33.181457°		 ← 218.09 m → S 44.435741°
E 33.184204°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
S 44.437702°
E 33.181457°		 ← 218.08 m →
47 545 m²		 S 44.437702°
E 33.184204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592174530029297 y=0.638072967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592174530029297 × 217)
    floor (0.592174530029297 × 131072)
    floor (77617.5)     		tx = 77617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638072967529297 × 217)
    floor (0.638072967529297 × 131072)
    floor (83633.5)     		ty = 83633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77617 / 83633 ti = "17/77617/83633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77617/83633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77617 ÷ 217
    77617 ÷ 131072     		x = 0.592170715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83633 ÷ 217
    83633 ÷ 131072     		y = 0.638069152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592170715332031 × 2 - 1) × π
    0.184341430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.57912568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638069152832031 × 2 - 1) × π
    -0.276138305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.867514072424156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57912568} λ = 0.57912568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867514072424156))-π/2
    2×atan(0.419994328056137)-π/2
    2×0.397623170070796-π/2
    0.795246340141592-1.57079632675     		φ = -0.77554999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57912568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.181457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77554999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.435741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77617 KachelY 83633 0.57912568 -0.77554999 33.181457 -44.435741
    Oben rechts KachelX + 1 77618 KachelY 83633 0.57917362 -0.77554999 33.184204 -44.435741
    Unten links KachelX 77617 KachelY + 1 83634 0.57912568 -0.77558421 33.181457 -44.437702
    Unten rechts KachelX + 1 77618 KachelY + 1 83634 0.57917362 -0.77558421 33.184204 -44.437702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77554999--0.77558421) × R
    3.42199999999737e-05 × 6371000     		dl = 218.015619999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77554999--0.77558421) × R
    3.42199999999737e-05 × 6371000     		dr = 218.015619999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57912568-0.57917362) × cos(-0.77554999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714036089178804 × 6371000     		do = 218.085000923999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57912568-0.57917362) × cos(-0.77558421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714012131034387 × 6371000     		du = 218.077683490012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77554999)-sin(-0.77558421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714036089178804-0.714012131034387)×R²
    abs(0.57917362-0.57912568)×2.39581444164694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39581444164694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39581444164694e-05×40589641000000     		ar = 47545.1390361458m²