Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77617 / 57394
↖ ↑ ↗
← N 21.815608°
E 33.181457°		 ← 283.55 m → N 21.815608°
E 33.184204°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 21.813058°
E 33.181457°		 ← 283.56 m →
80 391 m²		 N 21.813058°
E 33.184204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592174530029297 y=0.437885284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592174530029297 × 217)
    floor (0.592174530029297 × 131072)
    floor (77617.5)     		tx = 77617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437885284423828 × 217)
    floor (0.437885284423828 × 131072)
    floor (57394.5)     		ty = 57394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77617 / 57394 ti = "17/77617/57394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77617/57394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77617 ÷ 217
    77617 ÷ 131072     		x = 0.592170715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57394 ÷ 217
    57394 ÷ 131072     		y = 0.437881469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592170715332031 × 2 - 1) × π
    0.184341430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.57912568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437881469726562 × 2 - 1) × π
    0.124237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.390302236706497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57912568} λ = 0.57912568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390302236706497))-π/2
    2×atan(1.47742725915904)-π/2
    2×0.975775258887423-π/2
    1.95155051777485-1.57079632675     		φ = 0.38075419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57912568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.181457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38075419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.815608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77617 KachelY 57394 0.57912568 0.38075419 33.181457 21.815608
    Oben rechts KachelX + 1 77618 KachelY 57394 0.57917362 0.38075419 33.184204 21.815608
    Unten links KachelX 77617 KachelY + 1 57395 0.57912568 0.38070969 33.181457 21.813058
    Unten rechts KachelX + 1 77618 KachelY + 1 57395 0.57917362 0.38070969 33.184204 21.813058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38075419-0.38070969) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38075419-0.38070969) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57912568-0.57917362) × cos(0.38075419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928384626980807 × 6371000     		do = 283.552561700051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57912568-0.57917362) × cos(0.38070969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928401163185113 × 6371000     		du = 283.557612282488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38075419)-sin(0.38070969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928384626980807-0.928401163185113)×R²
    abs(0.57917362-0.57912568)×1.65362043057504e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65362043057504e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65362043057504e-05×40589641000000     		ar = 80390.5609486236m²