Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77616 / 57968
↖ ↑ ↗
← N 20.344627°
E 33.178711°		 ← 286.31 m → N 20.344627°
E 33.181457°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.342052°
E 33.178711°		 ← 286.32 m →
81 994 m²		 N 20.342052°
E 33.181457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592166900634766 y=0.442264556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592166900634766 × 217)
    floor (0.592166900634766 × 131072)
    floor (77616.5)     		tx = 77616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442264556884766 × 217)
    floor (0.442264556884766 × 131072)
    floor (57968.5)     		ty = 57968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77616 / 57968 ti = "17/77616/57968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77616/57968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77616 ÷ 217
    77616 ÷ 131072     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57968 ÷ 217
    57968 ÷ 131072     		y = 0.4422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    0.115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.362786456324585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362786456324585))-π/2
    2×atan(1.43732889397233)-π/2
    2×0.962938526022477-π/2
    1.92587705204495-1.57079632675     		φ = 0.35508073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35508073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.344627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77616 KachelY 57968 0.57907775 0.35508073 33.178711 20.344627
    Oben rechts KachelX + 1 77617 KachelY 57968 0.57912568 0.35508073 33.181457 20.344627
    Unten links KachelX 77616 KachelY + 1 57969 0.57907775 0.35503578 33.178711 20.342052
    Unten rechts KachelX + 1 77617 KachelY + 1 57969 0.57912568 0.35503578 33.181457 20.342052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35508073-0.35503578) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35508073-0.35503578) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57912568) × cos(0.35508073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937618424793717 × 6371000     		do = 286.313065560587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57912568) × cos(0.35503578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.937634051435892 × 6371000     		du = 286.317837343764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35508073)-sin(0.35503578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937618424793717-0.937634051435892)×R²
    abs(0.57912568-0.57907775)×1.56266421751372e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56266421751372e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56266421751372e-05×40589641000000     		ar = 81994.0025808148m²