Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77615 / 60463
↖ ↑ ↗
← N 13.798073°
E 33.175964°		 ← 296.61 m → N 13.798073°
E 33.178711°		 →
↑
296.57 m
↓
↑
296.57 m
↓
N 13.795406°
E 33.175964°		 ← 296.62 m →
87 967 m²		 N 13.795406°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592159271240234 y=0.461299896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592159271240234 × 217)
    floor (0.592159271240234 × 131072)
    floor (77615.5)     		tx = 77615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461299896240234 × 217)
    floor (0.461299896240234 × 131072)
    floor (60463.5)     		ty = 60463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77615 / 60463 ti = "17/77615/60463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77615/60463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77615 ÷ 217
    77615 ÷ 131072     		x = 0.592155456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60463 ÷ 217
    60463 ÷ 131072     		y = 0.461296081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592155456542969 × 2 - 1) × π
    0.184310913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57902981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461296081542969 × 2 - 1) × π
    0.0774078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.243183891772545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57902981} λ = 0.57902981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243183891772545))-π/2
    2×atan(1.27530312030816)-π/2
    2×0.905809070249952-π/2
    1.8116181404999-1.57079632675     		φ = 0.24082181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57902981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.175964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24082181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.798073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77615 KachelY 60463 0.57902981 0.24082181 33.175964 13.798073
    Oben rechts KachelX + 1 77616 KachelY 60463 0.57907775 0.24082181 33.178711 13.798073
    Unten links KachelX 77615 KachelY + 1 60464 0.57902981 0.24077526 33.175964 13.795406
    Unten rechts KachelX + 1 77616 KachelY + 1 60464 0.57907775 0.24077526 33.178711 13.795406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24082181-0.24077526) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dl = 296.57005000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24082181-0.24077526) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dr = 296.57005000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57902981-0.57907775) × cos(0.24082181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971142300471534 × 6371000     		do = 296.611855766626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57902981-0.57907775) × cos(0.24077526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971153401631647 × 6371000     		du = 296.615246346668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24082181)-sin(0.24077526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971142300471534-0.971153401631647)×R²
    abs(0.57907775-0.57902981)×1.11011601124922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11011601124922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11011601124922e-05×40589641000000     		ar = 87966.6956834371m²