Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77612 / 84310
↖ ↑ ↗
← S 45.748360°
E 33.167725°		 ← 213.13 m → S 45.748360°
E 33.170471°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
S 45.750277°
E 33.167725°		 ← 213.12 m →
45 419 m²		 S 45.750277°
E 33.170471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592136383056641 y=0.643238067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592136383056641 × 217)
    floor (0.592136383056641 × 131072)
    floor (77612.5)     		tx = 77612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643238067626953 × 217)
    floor (0.643238067626953 × 131072)
    floor (84310.5)     		ty = 84310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77612 / 84310 ti = "17/77612/84310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77612/84310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77612 ÷ 217
    77612 ÷ 131072     		x = 0.592132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84310 ÷ 217
    84310 ÷ 131072     		y = 0.643234252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643234252929688 × 2 - 1) × π
    -0.286468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.899967353466934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57888600} λ = 0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899967353466934))-π/2
    2×atan(0.406582933047102)-π/2
    2×0.386168406075678-π/2
    0.772336812151356-1.57079632675     		φ = -0.79845951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79845951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.748360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77612 KachelY 84310 0.57888600 -0.79845951 33.167725 -45.748360
    Oben rechts KachelX + 1 77613 KachelY 84310 0.57893394 -0.79845951 33.170471 -45.748360
    Unten links KachelX 77612 KachelY + 1 84311 0.57888600 -0.79849296 33.167725 -45.750277
    Unten rechts KachelX + 1 77613 KachelY + 1 84311 0.57893394 -0.79849296 33.170471 -45.750277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79845951--0.79849296) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79845951--0.79849296) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57888600-0.57893394) × cos(-0.79845951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697810962114085 × 6371000     		do = 213.129429483667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57888600-0.57893394) × cos(-0.79849296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697787002091788 × 6371000     		du = 213.122111476126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79845951)-sin(-0.79849296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697810962114085-0.697787002091788)×R²
    abs(0.57893394-0.57888600)×2.39600222974312e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39600222974312e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39600222974312e-05×40589641000000     		ar = 45419.2222948802m²