Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77612 / 58092
↖ ↑ ↗
← N 20.024968°
E 33.167725°		 ← 286.96 m → N 20.024968°
E 33.170471°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 20.022387°
E 33.167725°		 ← 286.97 m →
82 344 m²		 N 20.022387°
E 33.170471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592136383056641 y=0.443210601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592136383056641 × 217)
    floor (0.592136383056641 × 131072)
    floor (77612.5)     		tx = 77612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443210601806641 × 217)
    floor (0.443210601806641 × 131072)
    floor (58092.5)     		ty = 58092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77612 / 58092 ti = "17/77612/58092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77612/58092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77612 ÷ 217
    77612 ÷ 131072     		x = 0.592132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58092 ÷ 217
    58092 ÷ 131072     		y = 0.443206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443206787109375 × 2 - 1) × π
    0.11358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.356842280771698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57888600} λ = 0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356842280771698))-π/2
    2×atan(1.42881050119222)-π/2
    2×0.960148974773541-π/2
    1.92029794954708-1.57079632675     		φ = 0.34950162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34950162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.024968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77612 KachelY 58092 0.57888600 0.34950162 33.167725 20.024968
    Oben rechts KachelX + 1 77613 KachelY 58092 0.57893394 0.34950162 33.170471 20.024968
    Unten links KachelX 77612 KachelY + 1 58093 0.57888600 0.34945658 33.167725 20.022387
    Unten rechts KachelX + 1 77613 KachelY + 1 58093 0.57893394 0.34945658 33.170471 20.022387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34950162-0.34945658) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34950162-0.34945658) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57888600-0.57893394) × cos(0.34950162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939543489587657 × 6371000     		do = 286.960765569304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57888600-0.57893394) × cos(0.34945658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93955891166387 × 6371000     		du = 286.965475868344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34950162)-sin(0.34945658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939543489587657-0.93955891166387)×R²
    abs(0.57893394-0.57888600)×1.54220762133006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54220762133006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54220762133006e-05×40589641000000     		ar = 82344.0215901026m²