Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77612 / 57044
↖ ↑ ↗
← N 22.705256°
E 33.167725°		 ← 281.76 m → N 22.705256°
E 33.170471°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 22.702722°
E 33.167725°		 ← 281.76 m →
79 397 m²		 N 22.702722°
E 33.170471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592136383056641 y=0.435214996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592136383056641 × 217)
    floor (0.592136383056641 × 131072)
    floor (77612.5)     		tx = 77612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435214996337891 × 217)
    floor (0.435214996337891 × 131072)
    floor (57044.5)     		ty = 57044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77612 / 57044 ti = "17/77612/57044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77612/57044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77612 ÷ 217
    77612 ÷ 131072     		x = 0.592132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57044 ÷ 217
    57044 ÷ 131072     		y = 0.435211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592132568359375 × 2 - 1) × π
    0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435211181640625 × 2 - 1) × π
    0.12957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.407080151573517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57888600} λ = 0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407080151573517))-π/2
    2×atan(1.50242452252566)-π/2
    2×0.983538896183955-π/2
    1.96707779236791-1.57079632675     		φ = 0.39628147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39628147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.705256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77612 KachelY 57044 0.57888600 0.39628147 33.167725 22.705256
    Oben rechts KachelX + 1 77613 KachelY 57044 0.57893394 0.39628147 33.170471 22.705256
    Unten links KachelX 77612 KachelY + 1 57045 0.57888600 0.39623724 33.167725 22.702722
    Unten rechts KachelX + 1 77613 KachelY + 1 57045 0.57893394 0.39623724 33.170471 22.702722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39628147-0.39623724) × R
    4.4230000000034e-05 × 6371000     		dl = 281.789330000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39628147-0.39623724) × R
    4.4230000000034e-05 × 6371000     		dr = 281.789330000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57888600-0.57893394) × cos(0.39628147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92250268649198 × 6371000     		do = 281.756065673616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57888600-0.57893394) × cos(0.39623724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922519757956742 × 6371000     		du = 281.761279738374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39628147)-sin(0.39623724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92250268649198-0.922519757956742)×R²
    abs(0.57893394-0.57888600)×1.70714647617087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70714647617087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70714647617087e-05×40589641000000     		ar = 79396.5876164569m²