Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77611 / 60143
↖ ↑ ↗
← N 14.650025°
E 33.164978°		 ← 295.50 m → N 14.650025°
E 33.167725°		 →
↑
295.42 m
↓
↑
295.42 m
↓
N 14.647369°
E 33.164978°		 ← 295.50 m →
87 297 m²		 N 14.647369°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592128753662109 y=0.458858489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592128753662109 × 217)
    floor (0.592128753662109 × 131072)
    floor (77611.5)     		tx = 77611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458858489990234 × 217)
    floor (0.458858489990234 × 131072)
    floor (60143.5)     		ty = 60143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77611 / 60143 ti = "17/77611/60143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77611/60143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77611 ÷ 217
    77611 ÷ 131072     		x = 0.592124938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60143 ÷ 217
    60143 ÷ 131072     		y = 0.458854675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592124938964844 × 2 - 1) × π
    0.184249877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57883806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458854675292969 × 2 - 1) × π
    0.0822906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.258523699650963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57883806} λ = 0.57883806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258523699650963))-π/2
    2×atan(1.29501684093631)-π/2
    2×0.913243755264944-π/2
    1.82648751052989-1.57079632675     		φ = 0.25569118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57883806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.164978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25569118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.650025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77611 KachelY 60143 0.57883806 0.25569118 33.164978 14.650025
    Oben rechts KachelX + 1 77612 KachelY 60143 0.57888600 0.25569118 33.167725 14.650025
    Unten links KachelX 77611 KachelY + 1 60144 0.57883806 0.25564481 33.164978 14.647369
    Unten rechts KachelX + 1 77612 KachelY + 1 60144 0.57888600 0.25564481 33.167725 14.647369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25569118-0.25564481) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dl = 295.423270000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25569118-0.25564481) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dr = 295.423270000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57883806-0.57888600) × cos(0.25569118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967488717580134 × 6371000     		do = 295.49595750837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57883806-0.57888600) × cos(0.25564481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96750044417042 × 6371000     		du = 295.499539110886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25569118)-sin(0.25564481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967488717580134-0.96750044417042)×R²
    abs(0.57888600-0.57883806)×1.1726590286476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1726590286476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1726590286476e-05×40589641000000     		ar = 87296.9110990204m²