Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77611 / 58123
↖ ↑ ↗
← N 19.944951°
E 33.164978°		 ← 287.11 m → N 19.944951°
E 33.167725°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.942369°
E 33.164978°		 ← 287.11 m →
82 441 m²		 N 19.942369°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592128753662109 y=0.443447113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592128753662109 × 217)
    floor (0.592128753662109 × 131072)
    floor (77611.5)     		tx = 77611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443447113037109 × 217)
    floor (0.443447113037109 × 131072)
    floor (58123.5)     		ty = 58123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77611 / 58123 ti = "17/77611/58123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77611/58123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77611 ÷ 217
    77611 ÷ 131072     		x = 0.592124938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58123 ÷ 217
    58123 ÷ 131072     		y = 0.443443298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592124938964844 × 2 - 1) × π
    0.184249877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57883806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443443298339844 × 2 - 1) × π
    0.113113403320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.355356236883476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57883806} λ = 0.57883806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355356236883476))-π/2
    2×atan(1.42668880293831)-π/2
    2×0.959450695921017-π/2
    1.91890139184203-1.57079632675     		φ = 0.34810507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57883806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.164978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34810507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.944951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77611 KachelY 58123 0.57883806 0.34810507 33.164978 19.944951
    Oben rechts KachelX + 1 77612 KachelY 58123 0.57888600 0.34810507 33.167725 19.944951
    Unten links KachelX 77611 KachelY + 1 58124 0.57883806 0.34806000 33.164978 19.942369
    Unten rechts KachelX + 1 77612 KachelY + 1 58124 0.57888600 0.34806000 33.167725 19.942369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34810507-0.34806000) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dl = 287.140970000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34810507-0.34806000) × R
    4.50700000000359e-05 × 6371000     		dr = 287.140970000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57883806-0.57888600) × cos(0.34810507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940020793270463 × 6371000     		do = 287.10654639983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57883806-0.57888600) × cos(0.34806000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940036166465555 × 6371000     		du = 287.111241769317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34810507)-sin(0.34806000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940020793270463-0.940036166465555)×R²
    abs(0.57888600-0.57883806)×1.53731950917058e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53731950917058e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53731950917058e-05×40589641000000     		ar = 82440.7263570619m²