Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7761 / 9323
↖ ↑ ↗
← S 24.106647°
W  9.470215°		 ← 2 230.19 m → S 24.106647°
W  9.448242°		 →
↑
2 230.04 m
↓
↑
2 230.04 m
↓
S 24.126702°
W  9.470215°		 ← 2 229.84 m →
4 973 031 m²		 S 24.126702°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473724365234375 y=0.569061279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473724365234375 × 214)
    floor (0.473724365234375 × 16384)
    floor (7761.5)     		tx = 7761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569061279296875 × 214)
    floor (0.569061279296875 × 16384)
    floor (9323.5)     		ty = 9323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7761 / 9323 ti = "14/7761/9323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7761/9323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7761 ÷ 214
    7761 ÷ 16384     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9323 ÷ 214
    9323 ÷ 16384     		y = 0.56903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56903076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1380615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.433733067762268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.433733067762268))-π/2
    2×atan(0.648085227238403)-π/2
    2×0.575027980956269-π/2
    1.15005596191254-1.57079632675     		φ = -0.42074036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42074036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.106647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7761 KachelY 9323 -0.16528643 -0.42074036 -9.470215 -24.106647
    Oben rechts KachelX + 1 7762 KachelY 9323 -0.16490293 -0.42074036 -9.448242 -24.106647
    Unten links KachelX 7761 KachelY + 1 9324 -0.16528643 -0.42109039 -9.470215 -24.126702
    Unten rechts KachelX + 1 7762 KachelY + 1 9324 -0.16490293 -0.42109039 -9.448242 -24.126702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42074036--0.42109039) × R
    0.000350030000000001 × 6371000     		dl = 2230.04113000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42074036--0.42109039) × R
    0.000350030000000001 × 6371000     		dr = 2230.04113000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16490293) × cos(-0.42074036) × R
    0.000383500000000009 × 0.912786800563814 × 6371000     		do = 2230.19236490141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16490293) × cos(-0.42109039) × R
    0.000383500000000009 × 0.912643779671347 × 6371000     		du = 2229.84292502979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42074036)-sin(-0.42109039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912786800563814-0.912643779671347)×R²
    abs(-0.16490293--0.16528643)×0.000143020892467205×R²
    0.000383500000000009×0.000143020892467205×6371000²
    0.000383500000000009×0.000143020892467205×40589641000000     		ar = 4973031.11967463m²