Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77609 / 84321
↖ ↑ ↗
← S 45.769439°
E 33.159485°		 ← 213.05 m → S 45.769439°
E 33.162232°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
S 45.771355°
E 33.159485°		 ← 213.04 m →
45 388 m²		 S 45.771355°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592113494873047 y=0.643321990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592113494873047 × 217)
    floor (0.592113494873047 × 131072)
    floor (77609.5)     		tx = 77609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643321990966797 × 217)
    floor (0.643321990966797 × 131072)
    floor (84321.5)     		ty = 84321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77609 / 84321 ti = "17/77609/84321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77609/84321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77609 ÷ 217
    77609 ÷ 131072     		x = 0.592109680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84321 ÷ 217
    84321 ÷ 131072     		y = 0.643318176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592109680175781 × 2 - 1) × π
    0.184219360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57874219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643318176269531 × 2 - 1) × π
    -0.286636352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.900494659362755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57874219} λ = 0.57874219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900494659362755))-π/2
    2×atan(0.406368595984931)-π/2
    2×0.385984460903666-π/2
    0.771968921807331-1.57079632675     		φ = -0.79882740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57874219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.159485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79882740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.769439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77609 KachelY 84321 0.57874219 -0.79882740 33.159485 -45.769439
    Oben rechts KachelX + 1 77610 KachelY 84321 0.57879013 -0.79882740 33.162232 -45.769439
    Unten links KachelX 77609 KachelY + 1 84322 0.57874219 -0.79886084 33.159485 -45.771355
    Unten rechts KachelX + 1 77610 KachelY + 1 84322 0.57879013 -0.79886084 33.162232 -45.771355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79882740--0.79886084) × R
    3.34400000000512e-05 × 6371000     		dl = 213.046240000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79882740--0.79886084) × R
    3.34400000000512e-05 × 6371000     		dr = 213.046240000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57874219-0.57879013) × cos(-0.79882740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697547401923998 × 6371000     		do = 213.048931417575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57874219-0.57879013) × cos(-0.79886084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697523440481883 × 6371000     		du = 213.041612976385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79882740)-sin(-0.79886084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697547401923998-0.697523440481883)×R²
    abs(0.57879013-0.57874219)×2.3961442114917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3961442114917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3961442114917e-05×40589641000000     		ar = 45388.4941956796m²