Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77609 / 57481
↖ ↑ ↗
← N 21.593597°
E 33.159485°		 ← 283.99 m → N 21.593597°
E 33.162232°		 →
↑
283.96 m
↓
↑
283.96 m
↓
N 21.591043°
E 33.159485°		 ← 284 m →
80 641 m²		 N 21.591043°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592113494873047 y=0.438549041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592113494873047 × 217)
    floor (0.592113494873047 × 131072)
    floor (77609.5)     		tx = 77609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438549041748047 × 217)
    floor (0.438549041748047 × 131072)
    floor (57481.5)     		ty = 57481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77609 / 57481 ti = "17/77609/57481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77609/57481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77609 ÷ 217
    77609 ÷ 131072     		x = 0.592109680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57481 ÷ 217
    57481 ÷ 131072     		y = 0.438545227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592109680175781 × 2 - 1) × π
    0.184219360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57874219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438545227050781 × 2 - 1) × π
    0.122909545898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.386131726439552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57874219} λ = 0.57874219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386131726439552))-π/2
    2×atan(1.47127846432429)-π/2
    2×0.973837843959795-π/2
    1.94767568791959-1.57079632675     		φ = 0.37687936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57874219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.159485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37687936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.593597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77609 KachelY 57481 0.57874219 0.37687936 33.159485 21.593597
    Oben rechts KachelX + 1 77610 KachelY 57481 0.57879013 0.37687936 33.162232 21.593597
    Unten links KachelX 77609 KachelY + 1 57482 0.57874219 0.37683479 33.159485 21.591043
    Unten rechts KachelX + 1 77610 KachelY + 1 57482 0.57879013 0.37683479 33.162232 21.591043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37687936-0.37683479) × R
    4.45700000000215e-05 × 6371000     		dl = 283.955470000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37687936-0.37683479) × R
    4.45700000000215e-05 × 6371000     		dr = 283.955470000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57874219-0.57879013) × cos(0.37687936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929817621104074 × 6371000     		do = 283.990234990565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57874219-0.57879013) × cos(0.37683479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92983402286046 × 6371000     		du = 283.995244509147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37687936)-sin(0.37683479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929817621104074-0.92983402286046)×R²
    abs(0.57879013-0.57874219)×1.64017563861751e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64017563861751e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64017563861751e-05×40589641000000     		ar = 80641.2919056415m²