Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77609 / 57155
↖ ↑ ↗
← N 22.423724°
E 33.159485°		 ← 282.33 m → N 22.423724°
E 33.162232°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 22.421185°
E 33.159485°		 ← 282.34 m →
79 703 m²		 N 22.421185°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592113494873047 y=0.436061859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592113494873047 × 217)
    floor (0.592113494873047 × 131072)
    floor (77609.5)     		tx = 77609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436061859130859 × 217)
    floor (0.436061859130859 × 131072)
    floor (57155.5)     		ty = 57155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77609 / 57155 ti = "17/77609/57155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77609/57155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77609 ÷ 217
    77609 ÷ 131072     		x = 0.592109680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57155 ÷ 217
    57155 ÷ 131072     		y = 0.436058044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592109680175781 × 2 - 1) × π
    0.184219360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57874219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436058044433594 × 2 - 1) × π
    0.127883911132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.401759155715691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57874219} λ = 0.57874219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401759155715691))-π/2
    2×atan(1.49445135926096)-π/2
    2×0.981082067442715-π/2
    1.96216413488543-1.57079632675     		φ = 0.39136781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57874219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.159485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39136781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.423724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77609 KachelY 57155 0.57874219 0.39136781 33.159485 22.423724
    Oben rechts KachelX + 1 77610 KachelY 57155 0.57879013 0.39136781 33.162232 22.423724
    Unten links KachelX 77609 KachelY + 1 57156 0.57874219 0.39132350 33.159485 22.421185
    Unten rechts KachelX + 1 77610 KachelY + 1 57156 0.57879013 0.39132350 33.162232 22.421185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39136781-0.39132350) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dl = 282.299009999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39136781-0.39132350) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dr = 282.299009999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57874219-0.57879013) × cos(0.39136781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924388169295391 × 6371000     		do = 282.331940654105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57874219-0.57879013) × cos(0.39132350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924405070577397 × 6371000     		du = 282.337102740669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39136781)-sin(0.39132350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924388169295391-0.924405070577397)×R²
    abs(0.57879013-0.57874219)×1.69012820062653e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69012820062653e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69012820062653e-05×40589641000000     		ar = 79702.7559770515m²