Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77608 / 58089
↖ ↑ ↗
← N 20.032710°
E 33.156738°		 ← 286.95 m → N 20.032710°
E 33.159485°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 20.030129°
E 33.156738°		 ← 286.95 m →
82 340 m²		 N 20.030129°
E 33.159485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592105865478516 y=0.443187713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592105865478516 × 217)
    floor (0.592105865478516 × 131072)
    floor (77608.5)     		tx = 77608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443187713623047 × 217)
    floor (0.443187713623047 × 131072)
    floor (58089.5)     		ty = 58089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77608 / 58089 ti = "17/77608/58089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77608/58089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77608 ÷ 217
    77608 ÷ 131072     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58089 ÷ 217
    58089 ÷ 131072     		y = 0.443183898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443183898925781 × 2 - 1) × π
    0.113632202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.356986091470558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356986091470558))-π/2
    2×atan(1.42901599420463)-π/2
    2×0.960216531312766-π/2
    1.92043306262553-1.57079632675     		φ = 0.34963674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34963674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.032710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77608 KachelY 58089 0.57869425 0.34963674 33.156738 20.032710
    Oben rechts KachelX + 1 77609 KachelY 58089 0.57874219 0.34963674 33.159485 20.032710
    Unten links KachelX 77608 KachelY + 1 58090 0.57869425 0.34959170 33.156738 20.030129
    Unten rechts KachelX + 1 77609 KachelY + 1 58090 0.57874219 0.34959170 33.159485 20.030129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34963674-0.34959170) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34963674-0.34959170) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57874219) × cos(0.34963674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939497211923385 × 6371000     		do = 286.946631180113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57874219) × cos(0.34959170) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939512639717383 × 6371000     		du = 286.951343225511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34963674)-sin(0.34959170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939497211923385-0.939512639717383)×R²
    abs(0.57874219-0.57869425)×1.54277939977687e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.54277939977687e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.54277939977687e-05×40589641000000     		ar = 82339.965979927m²