Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77607 / 58073
↖ ↑ ↗
← N 20.073991°
E 33.153992°		 ← 286.81 m → N 20.073991°
E 33.156738°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
N 20.071411°
E 33.153992°		 ← 286.82 m →
82 283 m²		 N 20.071411°
E 33.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592098236083984 y=0.443065643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592098236083984 × 217)
    floor (0.592098236083984 × 131072)
    floor (77607.5)     		tx = 77607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443065643310547 × 217)
    floor (0.443065643310547 × 131072)
    floor (58073.5)     		ty = 58073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77607 / 58073 ti = "17/77607/58073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77607/58073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77607 ÷ 217
    77607 ÷ 131072     		x = 0.592094421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58073 ÷ 217
    58073 ÷ 131072     		y = 0.443061828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592094421386719 × 2 - 1) × π
    0.184188842773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57864632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443061828613281 × 2 - 1) × π
    0.113876342773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.357753081864479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57864632} λ = 0.57864632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357753081864479))-π/2
    2×atan(1.43011245617909)-π/2
    2×0.960576776623407-π/2
    1.92115355324681-1.57079632675     		φ = 0.35035723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57864632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.153992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35035723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.073991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77607 KachelY 58073 0.57864632 0.35035723 33.153992 20.073991
    Oben rechts KachelX + 1 77608 KachelY 58073 0.57869425 0.35035723 33.156738 20.073991
    Unten links KachelX 77607 KachelY + 1 58074 0.57864632 0.35031220 33.153992 20.071411
    Unten rechts KachelX + 1 77608 KachelY + 1 58074 0.57869425 0.35031220 33.156738 20.071411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35035723-0.35031220) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35035723-0.35031220) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57864632-0.57869425) × cos(0.35035723) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939250159528014 × 6371000     		do = 286.81133539081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57864632-0.57869425) × cos(0.35031220) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939265614373846 × 6371000     		du = 286.816054713906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35035723)-sin(0.35031220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939250159528014-0.939265614373846)×R²
    abs(0.57869425-0.57864632)×1.54548458319859e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.54548458319859e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.54548458319859e-05×40589641000000     		ar = 82282.8710184783m²