Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77605 / 57482
↖ ↑ ↗
← N 21.591043°
E 33.148498°		 ← 284 m → N 21.591043°
E 33.151245°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.588489°
E 33.148498°		 ← 284 m →
80 661 m²		 N 21.588489°
E 33.151245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592082977294922 y=0.438556671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592082977294922 × 217)
    floor (0.592082977294922 × 131072)
    floor (77605.5)     		tx = 77605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438556671142578 × 217)
    floor (0.438556671142578 × 131072)
    floor (57482.5)     		ty = 57482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77605 / 57482 ti = "17/77605/57482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77605/57482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77605 ÷ 217
    77605 ÷ 131072     		x = 0.592079162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57482 ÷ 217
    57482 ÷ 131072     		y = 0.438552856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592079162597656 × 2 - 1) × π
    0.184158325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57855044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438552856445312 × 2 - 1) × π
    0.122894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.386083789539932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57855044} λ = 0.57855044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386083789539932))-π/2
    2×atan(1.47120793748667)-π/2
    2×0.973815557476243-π/2
    1.94763111495249-1.57079632675     		φ = 0.37683479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57855044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.148498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37683479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.591043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77605 KachelY 57482 0.57855044 0.37683479 33.148498 21.591043
    Oben rechts KachelX + 1 77606 KachelY 57482 0.57859838 0.37683479 33.151245 21.591043
    Unten links KachelX 77605 KachelY + 1 57483 0.57855044 0.37679021 33.148498 21.588489
    Unten rechts KachelX + 1 77606 KachelY + 1 57483 0.57859838 0.37679021 33.151245 21.588489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37683479-0.37679021) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dl = 284.01917999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37683479-0.37679021) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dr = 284.01917999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57855044-0.57859838) × cos(0.37683479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92983402286046 × 6371000     		do = 283.995244509147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57855044-0.57859838) × cos(0.37679021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929850426449123 × 6371000     		du = 284.000254587353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37683479)-sin(0.37679021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92983402286046-0.929850426449123)×R²
    abs(0.57859838-0.57855044)×1.64035886623948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64035886623948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64035886623948e-05×40589641000000     		ar = 80660.8079617937m²