Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77605 / 57382
↖ ↑ ↗
← N 21.846203°
E 33.148498°		 ← 283.49 m → N 21.846203°
E 33.151245°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.843654°
E 33.148498°		 ← 283.50 m →
80 355 m²		 N 21.843654°
E 33.151245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592082977294922 y=0.437793731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592082977294922 × 217)
    floor (0.592082977294922 × 131072)
    floor (77605.5)     		tx = 77605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437793731689453 × 217)
    floor (0.437793731689453 × 131072)
    floor (57382.5)     		ty = 57382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77605 / 57382 ti = "17/77605/57382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77605/57382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77605 ÷ 217
    77605 ÷ 131072     		x = 0.592079162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57382 ÷ 217
    57382 ÷ 131072     		y = 0.437789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592079162597656 × 2 - 1) × π
    0.184158325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57855044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437789916992188 × 2 - 1) × π
    0.124420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.390877479501938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57855044} λ = 0.57855044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390877479501938))-π/2
    2×atan(1.47827738303604)-π/2
    2×0.976042253619625-π/2
    1.95208450723925-1.57079632675     		φ = 0.38128818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57855044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.148498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38128818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.846203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77605 KachelY 57382 0.57855044 0.38128818 33.148498 21.846203
    Oben rechts KachelX + 1 77606 KachelY 57382 0.57859838 0.38128818 33.151245 21.846203
    Unten links KachelX 77605 KachelY + 1 57383 0.57855044 0.38124369 33.148498 21.843654
    Unten rechts KachelX + 1 77606 KachelY + 1 57383 0.57859838 0.38124369 33.151245 21.843654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38128818-0.38124369) × R
    4.44899999999526e-05 × 6371000     		dl = 283.445789999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38128818-0.38124369) × R
    4.44899999999526e-05 × 6371000     		dr = 283.445789999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57855044-0.57859838) × cos(0.38128818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928186052861847 × 6371000     		do = 283.491912052823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57855044-0.57859838) × cos(0.38124369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928202607404029 × 6371000     		du = 283.496968236119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38128818)-sin(0.38124369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928186052861847-0.928202607404029)×R²
    abs(0.57859838-0.57855044)×1.65545421827451e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65545421827451e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65545421827451e-05×40589641000000     		ar = 80355.3055606069m²