Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77602 / 60244
↖ ↑ ↗
← N 14.381476°
E 33.140259°		 ← 295.85 m → N 14.381476°
E 33.143006°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 14.378816°
E 33.140259°		 ← 295.86 m →
87 516 m²		 N 14.378816°
E 33.143006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592060089111328 y=0.459629058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592060089111328 × 217)
    floor (0.592060089111328 × 131072)
    floor (77602.5)     		tx = 77602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459629058837891 × 217)
    floor (0.459629058837891 × 131072)
    floor (60244.5)     		ty = 60244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77602 / 60244 ti = "17/77602/60244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77602/60244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77602 ÷ 217
    77602 ÷ 131072     		x = 0.592056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60244 ÷ 217
    60244 ÷ 131072     		y = 0.459625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    0.184112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57840663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    0.08074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57840663} λ = 0.57840663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253682072789337))-π/2
    2×atan(1.28876200661837)-π/2
    2×0.910900219602701-π/2
    1.8218004392054-1.57079632675     		φ = 0.25100411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57840663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.140259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25100411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.381476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77602 KachelY 60244 0.57840663 0.25100411 33.140259 14.381476
    Oben rechts KachelX + 1 77603 KachelY 60244 0.57845457 0.25100411 33.143006 14.381476
    Unten links KachelX 77602 KachelY + 1 60245 0.57840663 0.25095768 33.140259 14.378816
    Unten rechts KachelX + 1 77603 KachelY + 1 60245 0.57845457 0.25095768 33.143006 14.378816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25100411-0.25095768) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dl = 295.805529999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25100411-0.25095768) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dr = 295.805529999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57840663-0.57845457) × cos(0.25100411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968663512516279 × 6371000     		do = 295.85477012109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57840663-0.57845457) × cos(0.25095768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968675043603707 × 6371000     		du = 295.858292012001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25100411)-sin(0.25095768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968663512516279-0.968675043603707)×R²
    abs(0.57845457-0.57840663)×1.15310874285734e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15310874285734e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15310874285734e-05×40589641000000     		ar = 87515.9979917851m²