Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77602 / 58086
↖ ↑ ↗
← N 20.040450°
E 33.140259°		 ← 286.93 m → N 20.040450°
E 33.143006°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
N 20.037870°
E 33.140259°		 ← 286.94 m →
82 318 m²		 N 20.037870°
E 33.143006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592060089111328 y=0.443164825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592060089111328 × 217)
    floor (0.592060089111328 × 131072)
    floor (77602.5)     		tx = 77602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443164825439453 × 217)
    floor (0.443164825439453 × 131072)
    floor (58086.5)     		ty = 58086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77602 / 58086 ti = "17/77602/58086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77602/58086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77602 ÷ 217
    77602 ÷ 131072     		x = 0.592056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58086 ÷ 217
    58086 ÷ 131072     		y = 0.443161010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    0.184112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57840663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443161010742188 × 2 - 1) × π
    0.113677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357129902169418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57840663} λ = 0.57840663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357129902169418))-π/2
    2×atan(1.42922151677126)-π/2
    2×0.960284084524014-π/2
    1.92056816904803-1.57079632675     		φ = 0.34977184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57840663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.140259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34977184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.040450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77602 KachelY 58086 0.57840663 0.34977184 33.140259 20.040450
    Oben rechts KachelX + 1 77603 KachelY 58086 0.57845457 0.34977184 33.143006 20.040450
    Unten links KachelX 77602 KachelY + 1 58087 0.57840663 0.34972681 33.140259 20.037870
    Unten rechts KachelX + 1 77603 KachelY + 1 58087 0.57845457 0.34972681 33.143006 20.037870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34977184-0.34972681) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34977184-0.34972681) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57840663-0.57845457) × cos(0.34977184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939450923959993 × 6371000     		do = 286.932493643977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57840663-0.57845457) × cos(0.34972681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939466354044236 × 6371000     		du = 286.937206388875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34977184)-sin(0.34972681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939450923959993-0.939466354044236)×R²
    abs(0.57845457-0.57840663)×1.54300842425403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54300842425403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54300842425403e-05×40589641000000     		ar = 82317.6286972371m²