Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77602 / 57370
↖ ↑ ↗
← N 21.876793°
E 33.140259°		 ← 283.43 m → N 21.876793°
E 33.143006°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.874243°
E 33.140259°		 ← 283.44 m →
80 338 m²		 N 21.874243°
E 33.143006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592060089111328 y=0.437702178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592060089111328 × 217)
    floor (0.592060089111328 × 131072)
    floor (77602.5)     		tx = 77602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437702178955078 × 217)
    floor (0.437702178955078 × 131072)
    floor (57370.5)     		ty = 57370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77602 / 57370 ti = "17/77602/57370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77602/57370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77602 ÷ 217
    77602 ÷ 131072     		x = 0.592056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57370 ÷ 217
    57370 ÷ 131072     		y = 0.437698364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    0.184112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57840663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437698364257812 × 2 - 1) × π
    0.124603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.391452722297379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57840663} λ = 0.57840663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391452722297379))-π/2
    2×atan(1.47912799608135)-π/2
    2×0.976309191205774-π/2
    1.95261838241155-1.57079632675     		φ = 0.38182206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57840663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.140259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38182206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.876793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77602 KachelY 57370 0.57840663 0.38182206 33.140259 21.876793
    Oben rechts KachelX + 1 77603 KachelY 57370 0.57845457 0.38182206 33.143006 21.876793
    Unten links KachelX 77602 KachelY + 1 57371 0.57840663 0.38177757 33.140259 21.874243
    Unten rechts KachelX + 1 77603 KachelY + 1 57371 0.57845457 0.38177757 33.143006 21.874243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38182206-0.38177757) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38182206-0.38177757) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57840663-0.57845457) × cos(0.38182206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927987255062302 × 6371000     		do = 283.431194087787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57840663-0.57845457) × cos(0.38177757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928003831648895 × 6371000     		du = 283.436257004013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38182206)-sin(0.38177757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927987255062302-0.928003831648895)×R²
    abs(0.57845457-0.57840663)×1.65765865923762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65765865923762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65765865923762e-05×40589641000000     		ar = 80338.0962632275m²