Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77600 / 84322
↖ ↑ ↗
← S 45.771355°
E 33.134766°		 ← 213 m → S 45.771355°
E 33.137512°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
S 45.773271°
E 33.134766°		 ← 212.99 m →
45 377 m²		 S 45.773271°
E 33.137512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592044830322266 y=0.643329620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592044830322266 × 217)
    floor (0.592044830322266 × 131072)
    floor (77600.5)     		tx = 77600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643329620361328 × 217)
    floor (0.643329620361328 × 131072)
    floor (84322.5)     		ty = 84322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77600 / 84322 ti = "17/77600/84322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77600/84322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77600 ÷ 217
    77600 ÷ 131072     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84322 ÷ 217
    84322 ÷ 131072     		y = 0.643325805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643325805664062 × 2 - 1) × π
    -0.286651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.900542596262375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900542596262375))-π/2
    2×atan(0.406349116401235)-π/2
    2×0.385967742060998-π/2
    0.771935484121995-1.57079632675     		φ = -0.79886084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79886084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.771355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77600 KachelY 84322 0.57831076 -0.79886084 33.134766 -45.771355
    Oben rechts KachelX + 1 77601 KachelY 84322 0.57835869 -0.79886084 33.137512 -45.771355
    Unten links KachelX 77600 KachelY + 1 84323 0.57831076 -0.79889428 33.134766 -45.773271
    Unten rechts KachelX + 1 77601 KachelY + 1 84323 0.57835869 -0.79889428 33.137512 -45.773271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79886084--0.79889428) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dl = 213.046239999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79886084--0.79889428) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dr = 213.046239999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57835869) × cos(-0.79886084) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.697523440481883 × 6371000     		do = 212.997173757769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57835869) × cos(-0.79889428) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.697499478259774 × 6371000     		du = 212.989856604982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79886084)-sin(-0.79889428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697523440481883-0.697499478259774)×R²
    abs(0.57835869-0.57831076)×2.39622221090974e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39622221090974e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39622221090974e-05×40589641000000     		ar = 45377.4675580323m²