Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77600 / 58081
↖ ↑ ↗
← N 20.053351°
E 33.134766°		 ← 286.85 m → N 20.053351°
E 33.137512°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
N 20.050771°
E 33.134766°		 ← 286.85 m →
82 294 m²		 N 20.050771°
E 33.137512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592044830322266 y=0.443126678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592044830322266 × 217)
    floor (0.592044830322266 × 131072)
    floor (77600.5)     		tx = 77600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443126678466797 × 217)
    floor (0.443126678466797 × 131072)
    floor (58081.5)     		ty = 58081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77600 / 58081 ti = "17/77600/58081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77600/58081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77600 ÷ 217
    77600 ÷ 131072     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58081 ÷ 217
    58081 ÷ 131072     		y = 0.443122863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443122863769531 × 2 - 1) × π
    0.113754272460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.357369586667519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357369586667519))-π/2
    2×atan(1.42956412006989)-π/2
    2×0.960396665811023-π/2
    1.92079333162205-1.57079632675     		φ = 0.34999700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34999700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.053351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77600 KachelY 58081 0.57831076 0.34999700 33.134766 20.053351
    Oben rechts KachelX + 1 77601 KachelY 58081 0.57835869 0.34999700 33.137512 20.053351
    Unten links KachelX 77600 KachelY + 1 58082 0.57831076 0.34995197 33.134766 20.050771
    Unten rechts KachelX + 1 77601 KachelY + 1 58082 0.57835869 0.34995197 33.137512 20.050771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34999700-0.34995197) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34999700-0.34995197) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57835869) × cos(0.34999700) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939373741536574 × 6371000     		do = 286.849072643815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57835869) × cos(0.34995197) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939389181145554 × 6371000     		du = 286.853787314155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34999700)-sin(0.34995197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939373741536574-0.939389181145554)×R²
    abs(0.57835869-0.57831076)×1.54396089799835e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.54396089799835e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.54396089799835e-05×40589641000000     		ar = 82293.6966456011m²