Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77600 / 58079
↖ ↑ ↗
← N 20.058511°
E 33.134766°		 ← 286.84 m → N 20.058511°
E 33.137512°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.055932°
E 33.134766°		 ← 286.84 m →
82 273 m²		 N 20.055932°
E 33.137512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592044830322266 y=0.443111419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592044830322266 × 217)
    floor (0.592044830322266 × 131072)
    floor (77600.5)     		tx = 77600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443111419677734 × 217)
    floor (0.443111419677734 × 131072)
    floor (58079.5)     		ty = 58079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77600 / 58079 ti = "17/77600/58079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77600/58079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77600 ÷ 217
    77600 ÷ 131072     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58079 ÷ 217
    58079 ÷ 131072     		y = 0.443107604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443107604980469 × 2 - 1) × π
    0.113784790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.357465460466759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357465460466759))-π/2
    2×atan(1.42970118438367)-π/2
    2×0.960441695735461-π/2
    1.92088339147092-1.57079632675     		φ = 0.35008706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35008706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.058511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77600 KachelY 58079 0.57831076 0.35008706 33.134766 20.058511
    Oben rechts KachelX + 1 77601 KachelY 58079 0.57835869 0.35008706 33.137512 20.058511
    Unten links KachelX 77600 KachelY + 1 58080 0.57831076 0.35004204 33.134766 20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 77601 KachelY + 1 58080 0.57835869 0.35004204 33.137512 20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35008706-0.35004204) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35008706-0.35004204) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57835869) × cos(0.35008706) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939342856604338 × 6371000     		do = 286.839641558211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57835869) × cos(0.35004204) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 286.84435634463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35008706)-sin(0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939342856604338-0.939358296593452)×R²
    abs(0.57835869-0.57831076)×1.54399891137968e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.54399891137968e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.54399891137968e-05×40589641000000     		ar = 82272.716310715m²