Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7760 / 9301
↖ ↑ ↗
← S 23.664651°
W  9.492188°		 ← 2 237.82 m → S 23.664651°
W  9.470215°		 →
↑
2 237.62 m
↓
↑
2 237.62 m
↓
S 23.684774°
W  9.492188°		 ← 2 237.48 m →
5 007 021 m²		 S 23.684774°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473663330078125 y=0.567718505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473663330078125 × 214)
    floor (0.473663330078125 × 16384)
    floor (7760.5)     		tx = 7760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567718505859375 × 214)
    floor (0.567718505859375 × 16384)
    floor (9301.5)     		ty = 9301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7760 / 9301 ti = "14/7760/9301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7760/9301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7760 ÷ 214
    7760 ÷ 16384     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9301 ÷ 214
    9301 ÷ 16384     		y = 0.56768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.425296173429138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425296173429138))-π/2
    2×atan(0.653576184561806)-π/2
    2×0.578885127602287-π/2
    1.15777025520457-1.57079632675     		φ = -0.41302607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41302607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.664651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7760 KachelY 9301 -0.16566993 -0.41302607 -9.492188 -23.664651
    Oben rechts KachelX + 1 7761 KachelY 9301 -0.16528643 -0.41302607 -9.470215 -23.664651
    Unten links KachelX 7760 KachelY + 1 9302 -0.16566993 -0.41337729 -9.492188 -23.684774
    Unten rechts KachelX + 1 7761 KachelY + 1 9302 -0.16528643 -0.41337729 -9.470215 -23.684774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41302607--0.41337729) × R
    0.000351219999999985 × 6371000     		dl = 2237.62261999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41302607--0.41337729) × R
    0.000351219999999985 × 6371000     		dr = 2237.62261999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16528643) × cos(-0.41302607) × R
    0.000383499999999981 × 0.915910405848207 × 6371000     		do = 2237.82420253509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16528643) × cos(-0.41337729) × R
    0.000383499999999981 × 0.915769375703161 × 6371000     		du = 2237.47962661384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41302607)-sin(-0.41337729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915910405848207-0.915769375703161)×R²
    abs(-0.16528643--0.16566993)×0.000141030145045851×R²
    0.000383499999999981×0.000141030145045851×6371000²
    0.000383499999999981×0.000141030145045851×40589641000000     		ar = 5007020.59120786m²