Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7760 / 5456
↖ ↑ ↗
← N 75.973553°
W 94.746094°		 ← 296.09 m → N 75.973553°
W 94.735107°		 →
↑
296.06 m
↓
↑
296.06 m
↓
N 75.970890°
W 94.746094°		 ← 296.14 m →
87 668 m²		 N 75.970890°
W 94.735107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.236831665039062 y=0.166519165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.236831665039062 × 215)
    floor (0.236831665039062 × 32768)
    floor (7760.5)     		tx = 7760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166519165039062 × 215)
    floor (0.166519165039062 × 32768)
    floor (5456.5)     		ty = 5456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7760 / 5456 ti = "15/7760/5456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7760/5456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7760 ÷ 215
    7760 ÷ 32768     		x = 0.23681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5456 ÷ 215
    5456 ÷ 32768     		y = 0.16650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23681640625 × 2 - 1) × π
    -0.5263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.65363129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    0.6669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09541775619189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.65363129} λ = -1.65363129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09541775619189))-π/2
    2×atan(8.12883613261549)-π/2
    2×1.44839248512803-π/2
    2.89678497025606-1.57079632675     		φ = 1.32598864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.65363129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32598864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.973553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7760 KachelY 5456 -1.65363129 1.32598864 -94.746094 75.973553
    Oben rechts KachelX + 1 7761 KachelY 5456 -1.65343954 1.32598864 -94.735107 75.973553
    Unten links KachelX 7760 KachelY + 1 5457 -1.65363129 1.32594217 -94.746094 75.970890
    Unten rechts KachelX + 1 7761 KachelY + 1 5457 -1.65343954 1.32594217 -94.735107 75.970890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32598864-1.32594217) × R
    4.64700000000207e-05 × 6371000     		dl = 296.060370000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32598864-1.32594217) × R
    4.64700000000207e-05 × 6371000     		dr = 296.060370000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.65363129--1.65343954) × cos(1.32598864) × R
    0.000191750000000157 × 0.24236975008597 × 6371000     		do = 296.088399717954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.65363129--1.65343954) × cos(1.32594217) × R
    0.000191750000000157 × 0.242414834272593 × 6371000     		du = 296.143476329888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32598864)-sin(1.32594217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24236975008597-0.242414834272593)×R²
    abs(-1.65343954--1.65363129)×4.50841866236618e-05×R²
    0.000191750000000157×4.50841866236618e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.50841866236618e-05×40589641000000     		ar = 87668.1941904587m²