Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7760 / 4381
↖ ↑ ↗
← N 63.889062°
W  9.492188°		 ← 1 075.31 m → N 63.889062°
W  9.470215°		 →
↑
1 075.49 m
↓
↑
1 075.49 m
↓
N 63.879390°
W  9.492188°		 ← 1 075.68 m →
1 156 686 m²		 N 63.879390°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473663330078125 y=0.267425537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473663330078125 × 214)
    floor (0.473663330078125 × 16384)
    floor (7760.5)     		tx = 7760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267425537109375 × 214)
    floor (0.267425537109375 × 16384)
    floor (4381.5)     		ty = 4381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7760 / 4381 ti = "14/7760/4381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7760/4381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7760 ÷ 214
    7760 ÷ 16384     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4381 ÷ 214
    4381 ÷ 16384     		y = 0.26739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26739501953125 × 2 - 1) × π
    0.4652099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46150019561627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46150019561627))-π/2
    2×atan(4.31242415784546)-π/2
    2×1.34293540805276-π/2
    2.68587081610552-1.57079632675     		φ = 1.11507449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11507449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.889062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7760 KachelY 4381 -0.16566993 1.11507449 -9.492188 63.889062
    Oben rechts KachelX + 1 7761 KachelY 4381 -0.16528643 1.11507449 -9.470215 63.889062
    Unten links KachelX 7760 KachelY + 1 4382 -0.16566993 1.11490568 -9.492188 63.879390
    Unten rechts KachelX + 1 7761 KachelY + 1 4382 -0.16528643 1.11490568 -9.470215 63.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11507449-1.11490568) × R
    0.00016881000000013 × 6371000     		dl = 1075.48851000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11507449-1.11490568) × R
    0.00016881000000013 × 6371000     		dr = 1075.48851000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16528643) × cos(1.11507449) × R
    0.000383499999999981 × 0.440110597120553 × 6371000     		do = 1075.31275956676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16528643) × cos(1.11490568) × R
    0.000383499999999981 × 0.440262172703705 × 6371000     		du = 1075.6831009302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11507449)-sin(1.11490568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440110597120553-0.440262172703705)×R²
    abs(-0.16528643--0.16566993)×0.000151575583151875×R²
    0.000383499999999981×0.000151575583151875×6371000²
    0.000383499999999981×0.000151575583151875×40589641000000     		ar = 1156685.6692593m²