Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77599 / 57373
↖ ↑ ↗
← N 21.869146°
E 33.132019°		 ← 283.45 m → N 21.869146°
E 33.134766°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.866597°
E 33.132019°		 ← 283.45 m →
80 342 m²		 N 21.866597°
E 33.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592037200927734 y=0.437725067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592037200927734 × 217)
    floor (0.592037200927734 × 131072)
    floor (77599.5)     		tx = 77599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437725067138672 × 217)
    floor (0.437725067138672 × 131072)
    floor (57373.5)     		ty = 57373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77599 / 57373 ti = "17/77599/57373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77599/57373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77599 ÷ 217
    77599 ÷ 131072     		x = 0.592033386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57373 ÷ 217
    57373 ÷ 131072     		y = 0.437721252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592033386230469 × 2 - 1) × π
    0.184066772460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57826282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437721252441406 × 2 - 1) × π
    0.124557495117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.391308911598518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57826282} λ = 0.57826282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391308911598518))-π/2
    2×atan(1.4789152969451)-π/2
    2×0.976242462170171-π/2
    1.95248492434034-1.57079632675     		φ = 0.38168860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57826282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.132019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38168860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.869146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77599 KachelY 57373 0.57826282 0.38168860 33.132019 21.869146
    Oben rechts KachelX + 1 77600 KachelY 57373 0.57831076 0.38168860 33.134766 21.869146
    Unten links KachelX 77599 KachelY + 1 57374 0.57826282 0.38164411 33.132019 21.866597
    Unten rechts KachelX + 1 77600 KachelY + 1 57374 0.57831076 0.38164411 33.134766 21.866597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38168860-0.38164411) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38168860-0.38164411) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57826282-0.57831076) × cos(0.38168860) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928036975586604 × 6371000     		do = 283.446380016371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57826282-0.57831076) × cos(0.38164411) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.92805354666295 × 6371000     		du = 283.451441249627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38168860)-sin(0.38164411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928036975586604-0.92805354666295)×R²
    abs(0.57831076-0.57826282)×1.65710763455618e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.65710763455618e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.65710763455618e-05×40589641000000     		ar = 80342.4004122793m²